I matematikken, og særligt i talteori, siger aritmetikkens fundamentalsætning at ethvert positivt heltal større end 1 enten er et primtal eller kan opskrives som et produkt af primtal. Desuden er denne opskrivning unik, når man ser bort fra rækkefølgen. F.eks. kan man skrive
- 6936 = 23 · 3 · 17² eller 1200 = 24 · 3 · 5²
og der findes ingen andre mulige faktoriseringer af 6936 eller 1200.
Man kan udvide sætningen til at gælde tallet 1, hvis man betragter 1 som produktet af nul primtal.
Sætningen kan nemt og elegant bevises. Beviset kunne for eksempel gå som følger:
Del I: Alle ikke-primtal kan opløses i en primfaktoropløsning
Antag det modsatte; at der findes et tal, som ikke kan opløses i primfaktorer. Vi kigger på det laveste af denne slags, og kalder dette tal n. Alle tal mindre end n kan opløses i primtal. Altså kan tallet n ikke have nogle divisorer, da disse ville kunne omskrives til primfaktorer. Men hvis det ikke har nogen divisorer, udover 1 og den selv, så er tallet n selv et primtal. Hermed er det vist, at alle tal enten er primtal eller sammensatte tal, som kan opløses i primfaktorer.
Del II: Primtalsfaktorisation er entydig
Vi antager at der findes et tal N hvorom der gælder at der findes 2 primtalsopløsninger af tallet:
Vi fjerner først alle fælles faktorer på begge sider. Nu tager vi så faktoren og dividerer med den på alle tre sider. Nu er siden med m-faktorerne ikke et heltal, mens at siden med n-faktorerne er. Derfor må vores udgangspunkt om den flertydige opløsning af N være fejlfuldt.
Se også
wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer