I matematisk analyse er Hölders ulighed en fundamental ulighed, der relaterer Lp-rum, som er opkaldt efter den tyske matematiker .
Lad S være et målrum, lad 1 ≤ p, q ≤ ∞ med 1/p + 1/q = 1 og lad f og g være . Da gælder
Specielt gælder for f i Lp(S) og g i Lq(S), at fg ligger i L1(S).
Tallene p og q kaldes hinandens Hölderkonjugerede.
Hölders ulighed bruges til at vise trekantsuligheden i Lp og og bruges ligeledes til at opnå, at Lp og Lq er .
Hölders ulighed blev først fundet af i 1888 og genopdaget af Hölder i 1889.
Vigtige specialtilfælde
- For p = q = 2 er Hölders ulighed blot Cauchy-Schwarz' ulighed.
- I tilfældet med euklidisk rum, dvs. hvis S er {1, …, n} med tællemålet, fås for alle x og y i Rn (eller i Cn), at
- For rummet af funktioner med komplekse værdier, haves
Bevis
Beviset for uligheden hænger på : for ikke-negative a og 1/p ∈ (0,1) med 1/p+1/q=1 gælder
og der gælder lighed hvis og kun hvis ap = bq
Hölders ulighed er triviel at vise, hvis enten f eller g har uendelig norm eller norm nul, så ved at dividere hver funktion med funktionens norm, kan det antages, at
Ved at bruge Youngs ulighed med a = |f(x)| og b = |g(x)|, fås for alle x i det pågældende målrum, at
Integration giver nu
hvilket viser påstanden.
wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer