Imaginære tal

Ved et komplekst tal forstås en størrelse ${\displaystyle z}$, som er en sum af to komponenter, ét reelt tal (realdelen) og et andet reelt tal (imaginærdelen) ganget med den imaginære enhedsstørrelse ${\displaystyle \mathrm {i} }$. Et komplekst tal kan derfor repræsenteres ved to reelle tal, og illustreres som et punkt i et koordinatsystem kaldet et Argand-diagram med en reel og en imaginær akse.

Argand-diagram: Et komplekst tal ${\displaystyle z=a+b\cdot i}$ kan illustreres med et punkt (sort prik) i et talplan, hvor realdelen ${\displaystyle a}$ afsættes ud af førsteaksen (Re) og imaginærdelen ${\displaystyle b}$ afsættes op ad andenaksen (Im). Beliggenheden af de tre komplekse tal ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ og ${\displaystyle \mathrm {i} }$ er angivet med farvede prikker.

Et komplekst tal skrives på formen

${\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} ,\quad a\in \mathbb {R} ,\;b\in \mathbb {R} }$

hvor ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ som angivet er vilkårlige reelle tal og hvor ${\displaystyle \mathrm {i} }$ er en særligt konstrueret størrelse med egenskaben

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$

Da det for ethvert reelt tal ${\displaystyle a}$ gælder, at ${\displaystyle a^{2}\geqq 0}$, kan ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ikke være et reelt tal; størrelsen kaldes den imaginære enhed. Populært omtales ${\displaystyle \mathrm {i} }$ også som "kvadratroden af -1", og det er netop en af de kendetegnende egenskaber ved komplekse tal, at et komplekst tal opløftet i 2. potens kan blive et negativt tal (modsat de reelle tal hvor selv et negativt tal i 2. potens altid er et positivt resultat).

En stringent definition af de komplekse tal ${\displaystyle \mathbb {C} }$ og den imaginære enhed ${\displaystyle \mathrm {i} }$ gives i dette afsnit. Den historiske udvikling beskrives i det historiske afsnit. Endelig er der et afsnit om anvendelse i matematik, fysik og teknik.

Reelle kontra komplekse tal

Nedenstående figurer illustrerer løst forskellen på reelle og komplekse tal.

Øverste panel: Den reelle, éndimensionale talakse. Punkter med heltallige koordinater er markeret med prikker. Specielt er de reelle tal 0 og 1 angivet med grøn og rød farve. Ved addition parallelforskydes talaksen, på figuren adderes tallet -2.3 (eller 2.3 trækkes fra). Nederste panel: Ved multiplikation strækkes eller sammentrækkes talaksen, på figuren multipliceres med tallet 1.6.

De reelle tal er en éndimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter på en tallinie. Addition svarer til en parallelforskydning langs linjen og multiplikation svarer til en strækning af linjen.

Øverste panel: Det komplekse, todimensionale talplan. Punkter med heltallige koordinater er markeret med et net af prikker. Specielt er de komplekse tal 0, 1 og ${\displaystyle \mathrm {i} }$ angivet med grøn, rød og blå farve. Ved addition parallelforskydes priknettet både i førsteaksens og andenaksens retning. På figuren adderes tallet ${\displaystyle -2.8+1.5\cdot \mathrm {i} }$. Nederste panel: Ved multiplikation sker der både en strækning og en rotation af planet. På figuren mulipliceres priknettets punkter med tallet ${\displaystyle 0.8+1.38564\cdot \mathrm {i} }$, der dels strækker planet med faktoren 1.6, dels drejer det vinklen 60°.

De komplekse tal er en todimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter i et talplan. Addition svarer til en parallelforskydning af planets punkter, mens multiplikation svarer til en strækning i kombination med en rotation af planets punkter.

Notation

[[File:${\displaystyle \mathbb {C} }$|Mængden af komplekse tal
betegnes med bogstavet C
med dobbeltstreg.px|class=noviewer|]] I matematisk litteratur optræder både rækkefølgerne ${\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }$ og ${\displaystyle z=a+\mathrm {i} \cdot b}$ eller der veksles frit mellem dem. For at fremhæve den imaginære enhed ${\displaystyle \mathrm {i} }$, anbefales det, at symbolet skrives uden kursivering.

Inden for vekselstrøm og elektroteknik benyttes et kursiveret lille ${\displaystyle i}$ til at betegne tidsvariable strømstyrker. Man vil her oftest støde på betegnelsen ${\displaystyle j}$ for den imaginære enhed, selv om forvekslingsmuligheder næppe forekommer.

Her benyttes notationen ${\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }$.

Inden for de reelle tal ${\displaystyle \mathbb {R} }$ er der tradition for at betegne variable med bogstaverne ${\displaystyle x}$ og ${\displaystyle y}$; inden for de komplekse tal ${\displaystyle \mathbb {C} }$ anvendes traditionelt variabelnavne som ${\displaystyle z}$ og ${\displaystyle w}$.

De to dele af det komplekse tal ${\displaystyle z}$ kaldes realdelen og imaginærdelen:

Realdelen af ${\displaystyle z}$:		${\displaystyle \operatorname {Re} (z)=a}$
Imaginærdelen af ${\displaystyle z}$:		${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=b}$

Bemærk, at realdelen og imaginærdelen er reelle tal.

Entydighed

Fremstilling af et komplekst tal på formen ${\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }$ er entydig. Antag nemlig, at der foreligger to fremstillinger:

${\displaystyle z=a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} }$   og   ${\displaystyle z=a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} }$

Man kan da omskrive således:

${\displaystyle a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} =a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} }$

hvoraf

${\displaystyle a_{1}-a_{2}=(b_{2}-b_{1})\cdot \mathrm {i} }$

Antag at ${\displaystyle b_{2}\neq b_{1}}$. Ved division fås da, at

${\displaystyle {\frac {a_{1}-a_{2}}{b_{2}-b_{1}}}=\mathrm {i} }$

Brøken på venstre side er et reelt tal, medens højre side er imaginær. Antagelsen ${\displaystyle b_{2}\neq b_{1}}$ fører altså til en modstrid og må derfor forkastes, dvs. ${\displaystyle b_{2}=b_{1}}$. Videre følger, at ${\displaystyle a_{1}-a_{2}=(b_{2}-b_{1})\cdot \mathrm {i} =0}$, så også ${\displaystyle a_{2}=a_{1}}$. De to fremstillinger er altså ens.

Elementære regneregler for komplekse tal

Summen af to komplekse tal ${\displaystyle z_{1}}$ og ${\displaystyle z_{2}}$ fås ved at addere deres real- og imaginærdele og kan derfor illustreres med det viste parallelogram.

Reglerne er helt de samme som for reelle tal, blot skal man erindre, at ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$.

Vi betragter to komplekse tal,

${\displaystyle z_{1}=a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} \quad }$ og ${\displaystyle \quad z_{2}=a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} }$.

Kompleks addition:

${\displaystyle z_{1}+z_{2}}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )+(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\cdot \mathrm {i} }$

(1)

Kompleks subtraktion:

${\displaystyle z_{1}-z_{2}}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )-(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})\cdot \mathrm {i} }$

(2)

Kompleks multiplikation:

${\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot \mathrm {i} +b_{1}\cdot \mathrm {i} \cdot a_{2}+b_{1}\cdot \mathrm {i} \cdot b_{2}\cdot \mathrm {i} }$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle (a_{1}\cdot a_{2}-b_{1}\cdot b_{2})+(a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})\cdot \mathrm {i} }$

(3)

Kompleks division:

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle {\frac {a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} }{a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} }}={\frac {(a_{1}+b_{1}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}-b_{2}\cdot \mathrm {i} )}{(a_{2}+b_{2}\cdot \mathrm {i} )\cdot (a_{2}-b_{2}\cdot \mathrm {i} )}}}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle {\frac {(a_{1}\cdot a_{2}+b_{1}\cdot b_{2})+(a_{2}\cdot b_{1}-a_{1}\cdot b_{2})\cdot \mathrm {i} }{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}}$

(4)

Kompleks konjugering:

${\displaystyle {\bar {z}}=a-b\cdot \mathrm {i} }$

(5)

Det læses "z-streg". Bemærk, at divisionen udføres ved at forlænge brøken med nævnerens konjugerede tal.

Eksempler

(Eks. 1)

Elementær regning med komplekse tal

• ${\displaystyle (5-4\cdot \mathrm {i} )+(-3-2\cdot \mathrm {i} )={\color {ForestGreen}2-6\cdot \mathrm {i} }}$

• ${\displaystyle (2+\mathrm {i} )\cdot (3-4\cdot \mathrm {i} )=6-8\cdot \mathrm {i} +3\cdot \mathrm {i} +4={\color {ForestGreen}10-5\cdot \mathrm {i} }}$

• ${\displaystyle {\frac {3-4\cdot \mathrm {i} }{5+2\cdot \mathrm {i} }}={\frac {(3-4\cdot \mathrm {i} )\cdot (5-2\cdot \mathrm {i} )}{(5+2\cdot \mathrm {i} )\cdot (5-2\cdot \mathrm {i} )}}={\frac {15-20\cdot \mathrm {i} -6\cdot \mathrm {i} +8\cdot {\mathrm {i} }^{2}}{25-4\cdot {\mathrm {i} }^{2}}}={\frac {7-26\cdot \mathrm {i} }{29}}={\color {ForestGreen}\textstyle {\frac {7}{29}}-{\frac {26}{29}}\cdot \mathrm {i} }}$

• ${\displaystyle {\overline {2-7\cdot \mathrm {i} }}={\color {ForestGreen}2+7\cdot \mathrm {i} }}$

• ${\displaystyle {\overline {7\cdot \mathrm {i} -2}}={\color {ForestGreen}-2-7\cdot \mathrm {i} }}$

• ${\displaystyle {(a+b\cdot \mathrm {i} )}^{2}=(a+b\cdot \mathrm {i} )\cdot (a+b\cdot \mathrm {i} )={\color {ForestGreen}a^{2}-b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \mathrm {i} }}$

• ${\displaystyle (a+b\cdot \mathrm {i} )\cdot (a-b\cdot \mathrm {i} )=a^{2}-{(b\cdot \mathrm {i} )}^{2}={\color {ForestGreen}a^{2}+b^{2}}}$

De to sidste eksempler viser beregninger med to af kvadratsætningerne.

Definition af de komplekse tal

Konstruktion

De komplekse tal ${\displaystyle \mathbb {C} }$ kan konstrueres med udgangspunkt i polynomier af grad 1 med koefficienter i ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (${\displaystyle \mathbb {R} }$[x]) Altså polynomier på formen ^{s. 253}

${\displaystyle a+bx}$

Alle komplekse tal er på samme form, hvor "x" bliver kaldt "i"

${\displaystyle a+bx=a+bi}$

Når man ganger polynomier af anden grad kan man dog få polynomier af højere grad, for eksempel

${\displaystyle a+bx+cx^{2}}$

Som en del af konstruktionen, definere vi x^2 til -1. For eksempel bliver udtrykket ovenfor til

${\displaystyle (a-c)+bx}$

Derved kan all polynomier bringes ned til grad 1 og derved den karakteristiske form af komplekse tal

Da komplekse tal også er polynomier (altså er i ${\displaystyle \mathbb {R} }$[x]), gælder alle de samme regler. Vi kan derfor lægge dem sammen, trække dem fra hindanen og gange, helt på samme måde som ${\displaystyle \mathbb {R} }$[x]. Man normalt ikke dividere i ${\displaystyle \mathbb {R} }$[x], dog kan man alligevel dividere komplekse tal, som det næste viser

Reciprokt element

Det reciprokke element af ^{s. 46}

${\displaystyle a_{1}+a_{2}i}$

er elementet

${\displaystyle {\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}-{\frac {a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}i}$

ved at gange de 2 tal får vi

${\displaystyle (a_{1}+a_{2}i)\cdot ({\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}-{\frac {a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}i)=}$

${\displaystyle (a_{1}{\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}-a_{2}{\frac {a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}})+(a_{2}{\frac {a_{1}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}-a_{1}{\frac {a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}})i=}$

${\displaystyle 1}$Hvis vi ønsker at dividere a med b, ganger vi så bare det reciprokke element af b med a

factor ring konstruktion

Den samme konstruktion af komplekse tal kan udtrykkes mere kompakt, ved brug af hi-tech sprog af abstract algebra. De komplekse tal er isomorphic til R[x]/<x^2 + 1>. Denne konstruktion er helt tilsvarende til den allerede givet. ^{Ch 12, 13 og 14}

R[x] er et integral domain da R også er. x^2 + 1 er i denne ring og <x^2 + 1> er dens principal ideal. Dette er også er maksimal ideal. Så dens factor ring er et field. Denne ring er så isomorphic til de komplekse tal. For eksempel

${\displaystyle (x^{2})<x^{2}+1>=(-1+x^{2}+1)<x^{2}+1>=(-1)<x^{2}+1>+(x^{2}+1)<x^{2}+1>=(-1)<x^{2}+1>}$

Dette svare så til (efter en isomorphism)

${\displaystyle x^{2}=-1}$

De reelle tal ${\displaystyle \mathbb {R} }$ i de komplekse tal ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Vi betragter nu specielt den delmængde af de komplekse tal, hvis imaginærdel er nul. R er lukket indlejret mængde af R[x], derfor må R også være en lukket indlejring mængde af C. Dette betyder at R er lukket under multiplikation og addition, altså at man ikke man konstruere C fra R kun ved brug af disse operationer. På denne baggrund tillader man sig at identificere det komplekse tal ${\displaystyle a+0i}$ med det reelle tal ${\displaystyle a}$.

C kan også ses som et vector space over R. Et set basis vectors er så givet ved {1, i}. Ser man bort fra multiplikation af komplekse tal, er de komplekse tal identiske med ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$. For eksempel kan et udtryk i C ^{s. 330}

${\displaystyle 2(3+5i)}$

Udtrykkes som et i ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

${\displaystyle 2(3j+5k)}$

Kartesisk og polær beskrivelse af komplekse tal

Kartesisk beskrivelse: Kompleks talplan

Figuren viser et komplekst tal ${\displaystyle z}$ og dets konjugerede ${\displaystyle {\bar {z}}}$; de to ligger symmetrisk omkring den reelle talakse. Desuden illustreres, at multiplikation med ${\displaystyle \mathrm {i} }$ svarer til en drejning på ${\displaystyle 90^{\circ }}$ og at multiplikation med ${\displaystyle -\mathrm {i} }$ (eller division med ${\displaystyle \mathrm {i} }$!) svarer til en drejning på ${\displaystyle -90^{\circ }}$.

Et komplekst tal ${\displaystyle z\ =a+b\cdot \mathrm {i} }$ kan naturligt illustreres med et punkt med koordinaterne ${\displaystyle (a,b)}$ i et koordinatsystem med den reelle akse som ordinat og den imaginære akse som abscisse. Dette talplan kaldes det komplekse eller det gaussiske plan eller argand-planet. Om baggrunden for disse betegnelser se det historiske afsnit.

Nogle geometriske fortolkninger:

• Da ${\displaystyle {\bar {z}}=a-b\cdot \mathrm {i} }$, svarer kompleks konjugering, jfr. ligning (5), til spejling om den reelle akse.
• Da addition sker efter samme regel som for vektorer, kan en sum ${\displaystyle z=z_{1}+z_{2}}$ konstrueres som et parallelogram.
• Multiplikation med ${\displaystyle \mathrm {i} }$ sker ved drejning på ${\displaystyle 90^{\circ }}$, division ved drejning på ${\displaystyle -90^{\circ }}$.
• Da ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)=a}$, fås realdelen ved projektion af ${\displaystyle (a,b)}$ på den reelle akse.
• Da ${\displaystyle \mathrm {Im} (z)=b}$, fås imaginærdelen ved projektion af ${\displaystyle (a,b)}$ på den imaginære akse.

Endvidere ses det, at real- og imaginærdel kan udtrykkes ved ${\displaystyle z}$ og ${\displaystyle {\bar {z}}}$:

${\displaystyle \mathrm {Re} \,(z)={\tfrac {1}{2}}\cdot (z+{\bar {z}})}$

${\displaystyle \mathrm {Im} \,(z)={\tfrac {1}{2\cdot \mathrm {i} }}\cdot (z-{\bar {z}})}$

Polær beskrivelse: Modulus og argument

Et komplekst tal ${\displaystyle z}$ kan fastlægges både ved sine kartesiske koordinater ${\displaystyle (a,b)}$ (som ${\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }$) og ved sine polære koordinater ${\displaystyle \langle r,\varphi \rangle }$ (som ${\displaystyle z=r\cdot \exp(\varphi \cdot \mathrm {i} }$)). Figuren viser modulus ${\displaystyle r=|z|}$ og argument ${\displaystyle \varphi =\arg(z)}$ for dels det komplekse tal ${\displaystyle z=4+3\cdot \mathrm {i} }$, dels det konjugerede tal ${\displaystyle {\bar {z}}}$ og dels for ${\displaystyle w=-3.5-2\cdot \mathrm {i} }$ (med polære koordinater ${\displaystyle \langle s,\psi \rangle }$. Argumentet kan vælges at ligge i vinkelintervallet ${\displaystyle [-180^{\circ },\,180^{\circ }[}$ (brugt ved ${\displaystyle {\bar {z}}}$) eller i intervallet ${\displaystyle [0^{\circ },\,360^{\circ }[}$ (brugt ved ${\displaystyle w}$).

Et komplekst tal ${\displaystyle z=a+b\cdot \mathrm {i} }$, som ikke er lig nul, kan ved siden af sine kartesiske koordinater ${\displaystyle {\text{P}}=(a,b)}$ også beskrives ved sine polære koordinater ${\displaystyle \left\langle r,\varphi \right\rangle }$. Her betegner ${\displaystyle r}$ punktets afstand fra origo ${\displaystyle {\text{O}}=(0,0)}$ og ${\displaystyle \varphi }$ er den vinkel, som liniestykket ${\displaystyle {\text{OP}}}$ danner med den reelle akse, se figuren.

Den polære koordinat ${\displaystyle r}$ kaldes det komplekse tals modulus eller numeriske værdi eller norm og skrives

${\displaystyle |z|=r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

Den polære koordinat ${\displaystyle \varphi }$ kaldes det komplekse tals argument og skrives

${\displaystyle \arg(z)=\varphi =\operatorname {arctanXY} (a,b)}$

Her er ${\displaystyle \operatorname {arctanXY} (x,y)}$ den arcustangens-funktion, som beregner den vinkel, som en linje fra origo til punktet med koordinaterne ${\displaystyle (x,y)}$ danner med førsteaksen.

Det komplekse tal ${\displaystyle z=0}$ har modulus ${\displaystyle \left\vert z\right\vert =0}$, men tillægges ikke noget argument.

Argumentet for et komplekst tal er en flertydig størrelse: Hvis ${\displaystyle \arg(z)=\varphi }$ er argument for ${\displaystyle z}$, så kan også ethvert af tallene ${\displaystyle \varphi +2\cdot \pi \cdot n,\;n\in \mathbb {Z} }$ bruges som argument, fordi addition af et multiplum af ${\displaystyle 2\cdot \pi }$ ( eller ${\displaystyle 360^{\circ }}$ i gradmål) udpeger den samme retning. Man vælger ofte at lade ${\displaystyle \varphi }$ ligge i det halvåbne interval ${\displaystyle [-\pi ,\pi [}$ ( eller i gradmål ${\displaystyle [-180^{\circ },\,180^{\circ }[}$).

Eksempler

(Eks. 3)

${\displaystyle z=-\mathrm {i} }$	${\displaystyle \,:\,}$	${\displaystyle |z|={\sqrt {(0)^{2}+(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1}$		${\displaystyle \arg(z)=-\pi \ 2=-90^{\circ }}$
${\displaystyle z=-1+\mathrm {i} }$	${\displaystyle \,:\,}$	${\displaystyle |z|={\sqrt {(-1)^{2}+(1)^{2}}}={\sqrt {2}}}$		${\displaystyle \arg(z)=3/4\cdot \pi =135^{\circ }}$
${\displaystyle z=-5-12\cdot \mathrm {i} }$	${\displaystyle \,:\,}$	${\displaystyle |z|={\sqrt {(-5)^{2}+(-12)^{2}}}={\sqrt {169}}=13}$		${\displaystyle \arg(z)=\operatorname {arctanXY} (-5,-12)\approx -1.9656\approx -112.62^{\circ }}$

Multiplikation og division af to komplekse tal på polær form

De kartesiske koordinater for et komplekst tal ${\displaystyle z}$ med modulus ${\displaystyle r=|z|}$ og argument ${\displaystyle \varphi =\arg(z)}$ fås ved projektion på den reelle hhv. imaginære akse:

${\displaystyle \mathrm {Re} \,(z)=r\cdot \cos(\varphi )}$

${\displaystyle \mathrm {Im} \,(z)=r\cdot \sin(\varphi )}$

Tallet kan derfor skrives

${\displaystyle z=r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )}$.

Heraf finder vi, at produktet af to komplekse tal

${\displaystyle z}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle |z|\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )}$	${\displaystyle \quad }$	${\displaystyle \varphi =\arg(z)}$
${\displaystyle w}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle |z|\cdot (\cos(\psi )+\sin(\psi )\cdot \mathrm {i} )}$	${\displaystyle \quad }$	${\displaystyle \psi =\arg(w)}$

bliver

${\displaystyle z\cdot w}$	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle |z|\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} )\cdot |w|\cdot (\cos(\psi )+\sin(\psi )\cdot \mathrm {i} )}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle |z|\cdot |w|\cdot (\cos(\varphi )\cdot \cos(\psi )-\sin(\varphi )\cdot \sin(\psi ))+(\cos(\varphi )\cdot \sin(\psi )+\sin(\varphi )\cdot \cos(\psi ))\cdot \mathrm {i} )}$
	${\displaystyle \,=\,}$	${\displaystyle |z|\cdot |w|\cdot (\cos(\varphi +\psi )+\sin(\varphi +\psi )\cdot \mathrm {i} )}$

hvor vi i den sidste omskrivning har anvendt to af de trigonometriske . Man kan heraf konkludere, at

${\displaystyle |z\cdot w|\,=\,|z|\cdot |w|}$

${\displaystyle \arg(z\cdot w)\,=\arg(z)+\arg(w)}$

For ${\displaystyle z\neq 0}$ gælder, at ${\displaystyle z\cdot {\frac {1}{z}}=1}$. Heraf slutter vi dels at

${\displaystyle 1=|1|=\left|z\cdot {\frac {1}{z}}\right|=|z|\cdot \left|{\frac {1}{z}}\right|\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\frac {1}{z}}\right|={\frac {1}{|z|}}}$

og dels at

${\displaystyle 0=\arg(1)=\arg \left(z\cdot {\frac {1}{z}}\right)=\arg(z)+\arg \left({\frac {1}{z}}\right)\quad \Leftrightarrow \quad \arg \left({\frac {1}{z}}\right)=-\arg(z)}$

Heraf følger

${\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|=\left|z\cdot {\frac {1}{w}}\right|=|z|\cdot \left|{\frac {1}{w}}\right|=|z|\cdot {\frac {1}{|w|}}={\frac {|z|}{|w|}}}$

samt

${\displaystyle \arg \left({\frac {z}{w}}\right)=\arg \left(z\cdot {\frac {1}{w}}\right)=\arg(z)+\arg \left({\frac {1}{w}}\right)=\arg(z)-\arg(w)}$

Funktionen cis

Den irske matematiker William Rowan Hamilton, omtalt i det historiske afsnit, indførte hjælpefunktionen ${\displaystyle \mathrm {cis} }$ med komplekse funktionsværdier:

${\displaystyle \mathrm {cis} (x)=\cos(x)+\sin(x)\cdot \mathrm {i} \quad x\in \mathbb {R} }$

(9)

Navnet kan opfattes som en sammentrækning af cosinus, imaginær og sinus. Ved differentiation med hensyn til ${\displaystyle x}$ fås

${\displaystyle \mathrm {cis} (x)'=-\sin(x)+\cos(x)\cdot \mathrm {i} =\cos(x)\cdot \mathrm {i} +\sin(x)\cdot \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {cis} (x)}$

Funktionen ${\displaystyle \mathrm {cis} }$ differentieres altså efter samme regel som en eksponentialfunktion.

Desuden har funktionen følgende egenskaber fælles med den naturlige eksponentialfunktion ${\displaystyle \exp }$:

• ${\displaystyle \mathrm {cis} (z+w)=\mathrm {cis} (z)\cdot \mathrm {cis} (w)}$

• ${\displaystyle \mathrm {cis} (z-w)={\frac {\mathrm {cis} (z)}{\mathrm {cis} (w)}}}$

Anvendelse af ${\displaystyle \mathrm {cis} }$ medfører en kortere notation og forbedret læselighed, for eksempel ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \cdot x^{2}}}$ kontra ${\displaystyle \mathrm {cis} (x^{2})}$.

de Moivres formel og heltalspotenser

Hvis man i formlen for produktet af ${\displaystyle z}$ og ${\displaystyle w}$ sætter ${\displaystyle z=w}$, får man

${\displaystyle z^{2}=|z|^{2}\cdot (\cos(2\cdot \varphi )+\sin(2\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )}$

og for produktet af ${\displaystyle z}$ og ${\displaystyle z^{2}}$ fås

${\displaystyle z^{3}=|z|^{3}\cdot (\cos(3\cdot \varphi )+\sin(3\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )}$

hvilket straks kan generaliseres til

${\displaystyle z^{n}=|z|^{n}\cdot (\cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )\quad n\in \mathbb {N} }$

Dette er de Moivres formel (udtales "dø mo-A-vre"). I udfoldet form lyder den

${\displaystyle (r\cdot (\cos(\varphi )+\sin(\varphi )\cdot \mathrm {i} ))^{n}=r^{n}\cdot (\cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} )\quad n\in \mathbb {N} }$

(10)

Illustration af heltalspotenser af et komplekst tal ${\displaystyle z}$, altså ${\displaystyle z^{2}}$, ${\displaystyle z^{3}}$, ... ${\displaystyle z^{n}}$, ... Med grå farve vises potenser af ${\displaystyle z}$, hvor ${\displaystyle |z|=1}$ og ${\displaystyle \arg(z)=17^{\circ }}$ og hvor potensen varierer fra ${\displaystyle 1}$ til ${\displaystyle 20}$. Potenserne ligger alle på enhedscirklen. Med cyan farve vises potenser af ${\displaystyle z}$, hvor ${\displaystyle |z|=0.96}$ og ${\displaystyle \arg(z)=17^{\circ }}$ og hvor potensen varierer fra ${\displaystyle 1}$ til ${\displaystyle 23}$. Potenserne ligger alle på en indadsnoet . Med lysegrøn farve vises potenser af ${\displaystyle z}$, hvor ${\displaystyle |z|=1.04}$ og ${\displaystyle \arg(z)=17^{\circ }}$ og hvor potensen varierer fra ${\displaystyle 1}$ til ${\displaystyle 20}$. Potenserne ligger alle på en udadsnoet .

eller med anvendelse af ${\displaystyle \mathrm {cis} }$-funktionen, jfr. definitionen (9)

${\displaystyle \mathrm {cis} (z)^{n}=\mathrm {cis} (n\cdot z)}$

Opløftning af et komplekst tal ${\displaystyle z}$ til ${\displaystyle n}$-te potens kan altså udføres ved at opløfte dets modulus ${\displaystyle r}$ i ${\displaystyle n}$-te potens og gange dets argument ${\displaystyle \varphi }$ med ${\displaystyle n}$. Figuren viser nogle eksempler på mulige resultater.

Fordelen ved de Moivres formel for ${\displaystyle z^{n}}$ er, at man kan beregne resultatet uden først at skulle finde værdien af mellemliggende potenser ${\displaystyle z^{2}}$, ${\displaystyle z^{3}}$, ... ${\displaystyle z^{n-1}}$. Ulempen er, at man skal benytte beregningstunge trigonometriske funktioner i beregningen af ${\displaystyle \arg(z)}$ samt i bestemmelse af real- og imaginærdel.

Eksempler

(Eks. 4)

For det komplekse tal ${\displaystyle z=0.95+0.39\cdot \mathrm {i} \,}$ er ${\displaystyle \,|z|\approx 1.026937,\arg(z)\approx 0.389548\approx 22.39144^{\circ }}$

Potenser af ${\displaystyle z}$ beregnet kartesisk og polært (med de Moivres formel) vises i tabellen herunder; resultaterne stemmer naturligvis overens.

Potenser af ${\displaystyle z=0.95+0.39\cdot \mathrm {i} \,}$

Potens	Kartesiske ${\displaystyle z}$-potenser	Modulus	Argument	Realdel	Imaginærdel
${\displaystyle n}$	${\displaystyle z^{n}}$	${\displaystyle |z|^{n}}$	${\displaystyle \arg(z)\cdot n}$	${\displaystyle \mathrm {Re} \,(z^{n})}$	${\displaystyle \mathrm {Im} \,(z^{n}}$)
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0.95+0.39\cdot \mathrm {i} }$	${\displaystyle 1.026\,937\,194}$	${\displaystyle 0.389\,547\,722}$	${\displaystyle 0.95}$	${\displaystyle 0.39}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0.7574+0.741\cdot \mathrm {i} }$	${\displaystyle 1.046}$	${\displaystyle 0.779\,095\,444}$	${\displaystyle 0.7504}$	${\displaystyle 0.741}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0.42389+0.996606\cdot \mathrm {i} }$	${\displaystyle 1.083\,007\,965}$	${\displaystyle 1.168\,643\,166}$	${\displaystyle 0.42389}$	${\displaystyle 0.996606}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 0.014\,019\,16+1.112\,0928\cdot \mathrm {i} }$	${\displaystyle 1.112\,181\,160}$	${\displaystyle 1.558\,190\,888}$	${\displaystyle 0.014\,019\,16}$	${\displaystyle 1.112\,0928}$

Komplekse enhedsrødder

Illustration af komplekse enhedsrødder, dvs. løsninger til ligningen ${\displaystyle z^{n}=1}$ for graderne ${\displaystyle n=2}$ til ${\displaystyle n=6}$.

Inden for de reelle tals mængde ${\displaystyle \mathbb {R} }$ har ligningen ${\displaystyle x^{n}=1}$ enten én eller to reelle løsninger, nemlig ${\displaystyle x=1}$, hvis ${\displaystyle n}$ er ulige, og ${\displaystyle x=-1}$ og ${\displaystyle x=+1}$, hvis ${\displaystyle n}$ er lige.

Ifølge algebraens fundamentalsætning har ligningen ${\displaystyle z^{n}=1}$ ${\displaystyle n}$ komplekse rødder, som nu skal bestemmes. Først konstateres, at

${\displaystyle z^{n}=1\quad \Rightarrow \quad |z^{n}|=|z|^{n}=1\quad \Rightarrow \quad |z|=1}$.

Alle løsninger ligger altså på enhedscirklen, så ${\displaystyle z}$ kan skrives ${\displaystyle z=\operatorname {cis} (\varphi )}$, hvor ${\displaystyle \varphi }$ er løsningens argument. Vi anvender nu de Moivres formel (10):

${\displaystyle z^{n}=1}$	${\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }$	${\displaystyle \operatorname {cis} (\varphi )^{n}=\operatorname {cis} (n\cdot \varphi )=1}$
	${\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }$	${\displaystyle \cos(n\cdot \varphi )+\sin(n\cdot \varphi )\cdot \mathrm {i} =1}$
	${\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }$	${\displaystyle \cos(n\cdot \varphi )=1}$
	${\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }$	${\displaystyle n\cdot \varphi =2\cdot \pi \cdot p,\quad p\in \mathbb {N} }$
	${\displaystyle \quad \Rightarrow \quad }$	${\displaystyle \varphi ={\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p,\quad p\in [\;0,\;1,\;...,\;n-1]}$

Løsningerne er altså de ${\displaystyle n}$ komplekse tal

${\displaystyle z=\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\cdot p\right),\quad p\in [\;0,\;1,\;...,\;n-1]}$

(11)

Disse ligger jævnt fordelt på enhedscirklen med et indbyrdes vinkelmellemrum på ${\displaystyle {\tfrac {2\cdot \pi }{n}}}$ og udspænder en regulær ${\displaystyle n}$-kant med et hjørne i (1,0). De kaldes for de n-te enhedsrødder. ^{:55 :30}

Roden med ${\displaystyle p=1}$ betegnes normalt ${\displaystyle \varepsilon }$, de øvrige er potenser af denne. Enhedsrødderne kan derfor også opremses som

${\displaystyle 1,\;\varepsilon ,\;\varepsilon ^{2},\;\varepsilon ^{3},\;...,\;\varepsilon ^{n-1},\quad \varepsilon =\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{n}}\right)}$.

Figuren i det følgende afsnit illustrerer desuden enhedsrøddernes beliggenhed i tilfælde ${\displaystyle n=5}$, hvor

${\displaystyle \varepsilon =\operatorname {cis} \left({\tfrac {2\cdot \pi }{5}}\right)=\cos(72^{\circ })+\sin(72^{\circ })\cdot \mathrm {i} }$.

Ligningen zⁿ = c

Illustration af løsninger til komplekse ligninger af typen ${\displaystyle z^{n}=c}$. Grøn farve: Enhedscirklen. Rød farve: Løsninger til ligningen ${\displaystyle z^{5}=1}$ (enhedsrødderne af grad 5). Blå farve: Løsninger til ligningen ${\displaystyle z^{5}=-11+3\cdot \mathrm {i} }$. Løsningspunkterne danner i begge tilfælde en regulær femkant.

Lad ${\displaystyle c=r\cdot \operatorname {cis} (\varphi )}$ være et givet komplekst tal med modulus ${\displaystyle r}$ og argument ${\displaystyle \varphi }$. Vi søger alle løsninger til ligningen

${\displaystyle z^n=cn}$