Der er for få eller ingen i denne artikel, . Du kan hjælpe ved at angive til de påstande, som fremføres i artiklen.
Irrationale tal er i matematikken alle tal der er reelle, men ikke rationale.
![image](https://www.wikidata.da-dk.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEuZGEtZGsubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMlpsTDBseWNtRjBhVzl1WVd4ZmJuVnRZbVZ5Y3kwM0xuQnVaeTh5TWpCd2VDMUpjbkpoZEdsdmJtRnNYMjUxYldKbGNuTXROeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
De klassiske eksempler er tallet og kvadratroden af to som skrives . Kvadratrod to er lig med
Et irrationalt tal kan være algebraisk eller transcendent. Et transcendent tal kan ikke være rod i et polynomium med rationale koefficienter – de øvrige irrationale tal kaldes algebraiske.
Hvis et tals decimaler er periodiske vil tallet være rationalt. Men at vise et tal der er irrationalt er straks vanskeligere.
Irrationaliteten af kvadratrod 2
Her følger et bevis på at kvadratrod 2 er et irrationalt tal.
Irrationaliteten bevises ved et modstridsbevis. Det antages, at der findes et rationalt tal , så
; dvs. at der findes tal
og
så
(vi kan uden tab af almengyldighed antage, at
, da
). Herom kan antages, at brøken
er uforkortelig. Det fås altså at:
, hvilket vil sige at
. Det vil sige at
er lige, og det følger, at
også er lige. Det betyder, at der findes et helt tal
så
. Indsat i ovenstående ligning fås at
, altså
og forkortet
. På samme måde som før ses, at
også må være lige. Da både
og
er lige, er brøken
nødvendigvis forkortelig med 2, hvilket strider mod antagelsen.
har udtrykt et bevis for dette i en enkel sætning: "It () cannot be found in fractions, for if you take a fraction reduced to its lowest terms, the square of that fraction will again be a fraction reduced to its lowest terms and consequently cannot be equal to the whole number 2."
Irrationaliteten af kvadratrod 5
Ved hjælp af et indirekte bevis kan det vises, at kvadratroden af 5 er et irrationalt tal. Man antager, at det er et rationalt tal, så det kan skrives som en uforkortelig brøk: . Dette kan omskrives til:
. Brøken
var antaget uforkortelig, det vil sige, at p og q's ikke indeholder nogen fælles primtal.
og
vil derfor have et lige antal primfaktorer, da hvert primtal fra før vil forekomme to gange. Og her opstår modstriden: Ligningen
siger, at
har én primfaktor (5) mere end
, hvilket ikke kan passe, da de begge har et lige antal primfaktorer (jvf: Aritmetikkens fundamentalsætning). Hermed er det vist, at
er irrationalt. Dette bevis holder for alle primtal, hvilket betyder, at kvadratrødder af alle primtal er irrationale.
Bog
- Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN
Referencer
- Holth (1987) s. 21
![]() | Spire Denne artikel om matematik er en som bør udbygges. Du er velkommen til at Wikipedia ved at udvide den. |
wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer