Der er ingen kildehenvisninger i denne artikel hvilket er et problem Begrundelsen kan findes pa diskussionssiden eller i artikelhistorikken Du kan hjaelpe ved at angive kilder til de pastande der fremfores Hvis ikke der tilfojes kilder vil artiklen muligvis blive slettet april 2020 Laer hvordan og hvornar man kan fjerne denne skabelonbesked Kasteparablen er vejen en genstand folger taet pa Jordens overflade fx ved et kast Parablen gaelder nar kun tyngdekraften virker pa genstanden mens luftmodstand ignoreres Problemet kaldes ogsa for det skra kast Vandet i et springvand danner en parabel ParablenFor et legeme der skydes af sted fra startpunktet x0 y0 0 0 displaystyle x 0 y 0 0 0 med startfarten v0 displaystyle v 0 og affyringsvinklen a displaystyle alpha i forhold til vandret x displaystyle x retningen er kasteparablen givet ved y x g2v02cos2 a x2 tan a x displaystyle y x frac g 2v 0 2 cos 2 alpha x 2 tan alpha x hvor g displaystyle g er tyngdeaccelerationen Her bevaeger legemet sig i xy displaystyle xy planet og tyngdekraften virker modsat y displaystyle y retningen Udledning af parablenNar formlen for kasteparablen udledes tages luftmodstanden ikke i betragtning da den umuliggor bade en parabel og den analytiske metode i det hele taget se ogsa afsnittet om det skra kast ved luftmodstand Dette er en god model sa laenge luftmodstanden er meget lille i forhold til tyngdekraften Kasteparablen beskriver et legeme der bliver sendt afsted uden luftmodstand ved en given vinkel a displaystyle alpha i forhold til vandret denne vinkel kaldes Legemet har en given starthastighed v 0 displaystyle vec v 0 givet ved v 0 v0xv0y v0cos a v0sin a displaystyle vec v 0 v 0x choose v 0y v 0 cos alpha choose v 0 sin alpha Sa snart legemet er sendt af sted er det ikke pavirket af andre kraefter end tyngdekraften Tyngdeaccelerationen er lodret og nedadrettet Derfor ma hastigheden i x aksens retning vaere konstant og givet ved vx v0x v0cos a displaystyle v x v 0x v 0 cos alpha Pa samme made kan legemets position pa et givent tidspunkt t displaystyle t bestemmes x v0cos a t x0 displaystyle x v 0 cos alpha t x 0 hvor x0 displaystyle x 0 er positionen til tiden t 0 displaystyle t 0 Accelerationen i lodret plan er en konstant negativ acceleration g displaystyle g jf Galileis faldlov og bevaegelsen i y aksens retning er derfor vy gt v0sin a displaystyle v y gt v 0 sin alpha og den tilsvarende position er y 12gt2 v0sin a t y0 displaystyle y frac 1 2 gt 2 v 0 sin alpha t y 0 hvor y0 displaystyle y 0 er positionen til tiden t 0 displaystyle t 0 Den samlede hastighed som funktion af tiden er altsa v t v0cos a gt v0sin a displaystyle vec v t v 0 cos alpha choose gt v 0 sin alpha og positionen r displaystyle vec r som funktion af tiden er r t v0cos a t x0 12gt2 v0sin a t y0 displaystyle vec r t v 0 cos alpha t x 0 choose frac 1 2 gt 2 v 0 sin alpha t y 0 At kastebanen har form som en matematisk parabel kan ikke umiddelbart ses ud fra dette For at genkende parablen skal y displaystyle y koordinaten udtrykkes som funktion af x displaystyle x i stedet for t displaystyle t Forst kan t displaystyle t isoleres i udtrykket for x displaystyle x t x x0v0cos a displaystyle t frac x x 0 v 0 cos alpha Dette indsaettes i formlen for y displaystyle y koordinaten y x 12g x x0v0cos a 2 v0sin a x x0v0cos a y0y x g2v02cos2 a x x0 2 tan a x x0 y0 displaystyle begin aligned y x amp frac 1 2 g left frac x x 0 v 0 cos alpha right 2 v 0 sin alpha frac x x 0 v 0 cos alpha y 0 y x amp frac g 2v 0 2 cos 2 alpha x x 0 2 tan alpha x x 0 y 0 end aligned Det ses at leddene foran x x0 2 displaystyle x x 0 2 og x x0 displaystyle x x 0 udelukkende bestar af konstanter og dermed er udtrykket for en parabel Hvis bevaegelsen starter i x0 y0 0 0 displaystyle x 0 y 0 0 0 reducerer kasteparablen til y x g2v02cos2 a x2 tan a x displaystyle y x frac g 2v 0 2 cos 2 alpha x 2 tan alpha x og det bliver mere tydeligt at det er en parabel RaekkeviddeKasteparablens praktiske styrke er at den muliggor beregning af hvor langt et projektil kan na Kastelaengde Formen af kasteparablen aendrer sig med vinklen der kastes med Laeg maerke til at den vandrette afstand i affyringshojden er storst ved en vinkel pa 45 Ovenstaende udtryk for kasteparablen giver al den nodvendige information til at beregne hvor langt og hvor hojt et legeme vil bevaege sig For enkelthedens skyld antages det at startpositionen er x0 y0 0 0 displaystyle x 0 y 0 0 0 Det forste man kan beregne er hvornar legemet rammer jorden Denne situation svarer til at kasteparablen skaerer x aksen dvs y x 0 displaystyle y x 0 0 g2v02cos2 a x2 tan a x displaystyle 0 frac g 2v 0 2 cos 2 alpha x 2 tan alpha x som loses ved brug af standardlosningsformlen for nulpunkter i et andengradspolynomium x tan a tan a 2 4 g2v02cos a 2 02 g2v02cos a 2 x tan a tan a 2 gv02cos a 2x tan a tan a v02cos a 2gx 0ellerx 2v02tan a cos a 2g 2v02sin a cos a g displaystyle begin aligned x amp frac tan alpha pm sqrt tan alpha 2 4 left frac g 2v 0 2 cos alpha 2 right 0 2 left frac g 2v 0 2 cos alpha 2 right x amp frac tan alpha pm sqrt tan alpha 2 frac g v 0 2 cos alpha 2 x amp left tan alpha mp tan alpha right frac v 0 2 cos alpha 2 g x amp 0 quad text eller quad x frac 2v 0 2 tan alpha cos alpha 2 g frac 2v 0 2 sin alpha cos alpha g end aligned Losningen x 0 displaystyle x 0 giver bare skaeringen med y aksen i startpunktet x0 y0 0 0 displaystyle x 0 y 0 0 0 og er derfor ikke relevant Den anden losning giver derimod den maksimale kastelaengde xmax 2v02sin a cos a g v02sin 2a g displaystyle x max frac 2v 0 2 sin alpha cos alpha g frac v 0 2 sin 2 alpha g hvor det er brugt at 2sin a cos a sin 2a displaystyle 2 sin alpha cos alpha sin 2 alpha Hvis xmax displaystyle x text max skal vaere storst muligt skal sin 2a 1 displaystyle sin 2 alpha 1 Da sin 90 1 displaystyle sin 90 circ 1 ma den optimale kastevinkel vaere halvdelen af 90 displaystyle 90 circ aoptimal 45 displaystyle alpha text optimal 45 circ Dette resultat aendrer sig hvis genstanden lander i en anden hojde end den kastes fra for eksempel i et spydkast eller kuglestod Kastehojde Der hvor legemet er hojest oppe kan findes ved at bruge symmetri Parablen er symmetrisk omkring toppunktet dvs der hvor legemet vender retning og har opnaet sin maksimale hojde Dette betyder at x vaerdien for toppunktet ligger midt mellem parablens skaeringer med x aksen xtop 12xmax v02sin 2a 2g displaystyle x text top frac 1 2 x text max frac v 0 2 sin 2 alpha 2g Herfra findes hojden i dette punkt ved at indsaette xtop displaystyle x text top i udtrykket for y x displaystyle y x ymax y xtop g2v02cos2 a v02sin a cos a g 2 tan a v02sin a cos a gymax v02sin a 22g v02sin a 2gymax a v02sin a 22g displaystyle begin aligned y text max amp y x text top frac g 2v 0 2 cos 2 alpha left frac v 0 2 sin alpha cos alpha g right 2 tan alpha frac v 0 2 sin alpha cos alpha g y text max amp frac v 0 2 sin alpha 2 2g frac v 0 2 sin alpha 2 g y text max alpha amp frac v 0 2 sin alpha 2 2g end aligned Heraf ses det at den maksimale hojde nas ved et lodret kast dvs med en affyringsvinkel pa a 90 displaystyle alpha 90 circ da sin 90 1 displaystyle sin 90 circ 1 Den maksimale hojde er da givet ved ymax 90 y0 v022g displaystyle y text max 90 circ y 0 frac v 0 2 2g 1 hvor y0 displaystyle y 0 er lagt til som en arbitraer starthojde Generel raekkevidde Illustration af omradet som kan rammes af et projektil hvis affyringsvinklen varieres I illustrationen bruges v0 10 ms displaystyle v 0 10 text tfrac text m text s og g 10 ms2 displaystyle g 10 text tfrac text m text s 2 Hvis et projektil kan sendes afsted med en maksimal startfart men med forskellige vinkler er der et helt omrade i xy displaystyle xy planet som kan rammes af projektilet Dette omrade er afgraenset af kasteparablens indhylningskurve En funktion F displaystyle F lig med nul kan opstilles F x y a g2v02cos2 a x2 tan a x y 0 displaystyle F x y alpha frac g 2v 0 2 cos 2 alpha x 2 tan alpha x y 0 Den afledte med hensyn til a displaystyle alpha er da F a xcos2 a gx2tan a v02cos2 a 0 displaystyle frac partial F partial alpha frac x cos 2 alpha frac gx 2 tan alpha v 0 2 cos 2 alpha 0 Dermed er a displaystyle alpha givet ved tan a v02gx displaystyle tan alpha frac v 0 2 gx eller 1cos2 a v04g2x2 1 displaystyle frac 1 cos 2 alpha frac v 0 4 g 2 x 2 1 Dette indsaettes i udtrykket for F displaystyle F og y displaystyle y isoleres y x v022g g2v02x2 displaystyle y x frac v 0 2 2g frac g 2v 0 2 x 2 Dette er indhylningskurven Beregning af hastighedenDen resulterende hastighed kan beregnes ud fra x hastigheden og y hastigheden Da der er tale om vektorer kan man tegne kraefternes parallelogram der dog ikke har noget med kraefter at gore i denne anvendelse Da hastighederne har en x retning og en y retning ma de vaere vinkelret pa hinanden Dermed danner de med den resulterende hastighed en retvinklet trekant hvor x hastigheden er den ene katete y hastigheden er den anden katete og den resulterende hastighed er hypotenusen Ifolge den pythagoraeiske laeresaetning har man at v vx2 vy2 displaystyle v sqrt v x 2 v y 2 Med de tidligere fundne udtryk for x hastigheden og y hastigheden har man v v0cos a 2 gt v0sin a 2 displaystyle v sqrt v 0 cos alpha 2 gt v 0 sin alpha 2 KorrektionerKasteparablen er en simpel model og kan forbedres ved at aendre antagelserne Det folgende praesenterer korrektioner til kasteparablen Luftmodstand Hovedartikel Luftmodstand En af de meste praktiske korrektioner er inklusion af luftmodstand der generelt gor et projektils raekkevidde kortere Newtonsk tyngdekraft Hovedartikel Newtonsk gravitation For kasteparablen antages det at det kastede objekt er taet pa jordoverfladen og at tyngdeaccelerationen derfor kan betragtes som konstant For storre afstande over jordoverfladen beskrives gravitionen dog bedre af newtonsk tyngdekraft F GMmr2r displaystyle vec F frac GMm r 2 hat r hvor G displaystyle G er den universelle gravitationskonstant M displaystyle M er Jordens masse r displaystyle r er afstanden til Jordens centrum og r displaystyle hat r angiver retningen vaek fra Jorden Tilsvarende er den potentielle energi V r GMmr displaystyle V r frac GMm r Hvis R displaystyle R er Jordens radius er tyngdeaccelerationen i kasteparablen givet ved g GMR2 displaystyle g frac GM R 2 Lodret kast Betydningen af Newtonsk tyngdekraft er lettest at vise med et lodret kast Ligning 1 kan udledes ved at saette den kinetiske energi i starten til at vaere lig aendringen i potentiel energi fra start til top Derved fas mg ymax y0 12mv02ymax y0 12gv02ymax v022g y0 displaystyle begin aligned mg left y text max y 0 right amp frac 1 2 mv 0 2 y text max y 0 amp frac 1 2g v 0 2 y text max amp frac v 0 2 2g y 0 end aligned Tilsvarende udledning er mulig med potentialet i Newtonsk tyngdekraft AEndringen i potentiel energi er da DV GMm 1R y0 1R ymax displaystyle Delta V GMm left frac 1 R y 0 frac 1 R y text max right hvor y displaystyle y er malt for jordoverfladen og R displaystyle R er Jordens radius Dette saettes lig den kinetiske energi og ymax displaystyle y text max isoleres GMm 1R y0 1R ymax 12mv021R y0 1R ymax v022GM1R ymax 1R y0 v022GMR ymax 11R y0 v022GMR ymax R y0 2GM2GM v02 R y0 ymax R y0 2GM2GM v02 R y0 Rymax R y0 2GM 2GMR v02R R y0 2GM v02 R y0 displaystyle begin aligned GMm left frac 1 R y 0 frac 1 R y text max right amp frac 1 2 mv 0 2 frac 1 R y 0 frac 1 R y text max amp frac v 0 2 2GM frac 1 R y text max amp frac 1 R y 0 frac v 0 2 2GM R y text max amp frac 1 frac 1 R y 0 frac v 0 2 2GM R y text max amp frac R y 0 2GM 2GM v 0 2 R y 0 y text max amp frac R y 0 2GM 2GM v 0 2 R y 0 R y text max amp frac R y 0 2GM 2GMR v 0 2 R R y 0 2GM v 0 2 R y 0 end aligned Hojden for at lodret kast som funktion af startfarten Plottet sammenligner Galileis faldlov kasteparablen med Newtons tyngdekraft Det ses at de to modeller stemmer overens for sma vaerdier af startfarten Dette udtryk kan forsimples lidt ved at dividere med R2 displaystyle R 2 og indsaette tyngdeaccelerationen ymax R y0 2GMR2R2 2GMR2R2R v02R R y0 2GMR2R2 v02 R y0 ymax R y0 2gR2 2gR3 v02R R y0 2gR2 v02 R y0 ymax 2gR3 2gR2y0 2gR3 v02R2 v02Ry02gR2 v02R v02y0ymax v02R2 2gR v02 Ry02gR2 v02R v02y0 displaystyle begin aligned y text max amp frac R y 0 2 frac GM R 2 R 2 2 frac GM R 2 R 2 R v 0 2 R R y 0 2 frac GM R 2 R 2 v 0 2 R y 0 y text max amp frac R y 0 2gR 2 2gR 3 v 0 2 R R y 0 2gR 2 v 0 2 R y 0 y text max amp frac 2gR 3 2gR 2 y 0 2gR 3 v 0 2 R 2 v 0 2 Ry 0 2gR 2 v 0 2 R v 0 2 y 0 y text max amp frac v 0 2 R 2 2gR v 0 2 Ry 0 2gR 2 v 0 2 R v 0 2 y 0 end aligned Hvis y0 displaystyle y 0 er nul bliver udtrykket simplere ymax v02R22gR2 v02Rymax R2gRv02 1 displaystyle begin aligned y text max amp frac v 0 2 R 2 2gR 2 v 0 2 R y text max amp frac R frac 2gR v 0 2 1 end aligned For en lille startfart reducerer udtrykket til ymax v022g displaystyle y text max frac v 0 2 2g hvilket stemmer overens med kasteparablen Hojden divergerer dog nar naevneren gar mod nul Dette sker ved en fart vesc displaystyle v text esc givet ved 2gRvesc2 1 02gRvesc2 1vesc22gR 1vesc2 2gRvesc 2gR displaystyle begin aligned frac 2gR v text esc 2 1 amp 0 frac 2gR v text esc 2 amp 1 frac v text esc 2 2gR amp 1 v text esc 2 amp 2gR v text esc amp sqrt 2gR end aligned Dette er undvigelseshastigheden og er den lavest mulige fart der skal til for at forlade Jorden Da tyngdeaccelerationen ved kasteparablen er konstant har den model ikke nogen undvigelseshastighed Skrat kast Hovedartikel Keplers love Et projektil sendes af sted med en sadan fart at det gar i et elliptiske kredslob omkring Jorden Dette er ikke beskrevet af kasteparablen For et skrat kast generelt hvor hastigheden ikke overstiger undvigelseshastigheden er kasteparablen egentlig en approksimation af en del af et elliptisk kredslob beskrevet med Keplers love Med andre ord er kasteparablen et Taylorpolynomium til anden orden Dette kan vises ved at tage udgangspunkt i udtrykket for et elliptisk kredslob r 8 1k1cos 8 1p displaystyle r theta frac 1 k 1 cos theta frac 1 p hvor r displaystyle r er afstanden til Jordens centrum 8 displaystyle theta er vinklen og p displaystyle p og k displaystyle k er konstanter Den forste konstant er givet ved p L2GMm2 displaystyle p frac L 2 GMm 2 hvor L displaystyle L er impulsmomentet G displaystyle G er den universelle gravitationskonstant M displaystyle M er Jordens masse og m displaystyle m er den kastede genstands masse Taylorpolynomiet af r displaystyle r er givet ved r 8 r 80 r 8 80 8 80 12 2r 82 80 8 80 2 displaystyle r theta approx r theta 0 left frac partial r partial theta right theta 0 theta theta 0 frac 1 2 left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 theta theta 0 2 hvor 80 displaystyle theta 0 er startvinklen i forhold til Jordens centrum Ved denne vinkel er afstanden til Jorden centrum blot lig med Jordens radius r 80 R displaystyle r theta 0 R Storrelsen 8 80 displaystyle theta theta 0 er den rejste vinkel Da en cirkels omkreds er radius gange 2p displaystyle 2 pi er den rejste afstand x displaystyle x ved jordoverfladen givet ved dx Rd8 displaystyle mathrm d x R mathrm d theta Sa x R 8 80 displaystyle x R theta theta 0 Hojden y displaystyle y over jordoverfladen er derfor y x r 8 R r 8 80xR 12 2r 82 80 xR 2 displaystyle y x r theta R approx left frac partial r partial theta right theta 0 frac x R frac 1 2 left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 left frac x R right 2 Den forste og anden afledte til y displaystyle y skal altsa findes Den forste afledte er r 8 80 1 k1cos 80 1p 2k1sin 80 r 80 2k1sin 80 R2k1sin 80 displaystyle left frac partial r partial theta right theta 0 frac 1 k 1 cos theta 0 frac 1 p 2 k 1 sin theta 0 r theta 0 2 k 1 sin theta 0 R 2 k 1 sin theta 0 Starthaeldningen skal vaere lig med tangens til affyringsvinklen r x 80 tan a displaystyle left frac partial r partial x right theta 0 tan alpha Jf relationen mellem x displaystyle x og 80 displaystyle theta 0 r 8 80 Rtan a displaystyle left frac partial r partial theta right theta 0 R tan alpha Og for den anden afledte 2r 82 80 2r 80 r 8 80k1sin 80 r 80 2k1cos 80 2r 82 80 2 r 8 80Rk1sin 80 R2k1cos 80 2r 82 80 2R r 8 80R2k1sin 80 R2k1cos 80 2r 82 80 2R r 8 802 R2k1cos 80 displaystyle begin aligned left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 amp 2r theta 0 left frac partial r partial theta right theta 0 k 1 sin theta 0 r theta 0 2 k 1 cos theta 0 left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 amp 2 left frac partial r partial theta right theta 0 Rk 1 sin theta 0 R 2 k 1 cos theta 0 left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 amp frac 2 R left frac partial r partial theta right theta 0 R 2 k 1 sin theta 0 R 2 k 1 cos theta 0 left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 amp frac 2 R left frac partial r partial theta right theta 0 2 R 2 k 1 cos theta 0 end aligned Udtrykket for den forste afledte indsaettes 2r 82 80 2RR2tan2 a R2k1cos 80 2r 82 80 2Rtan2 a R2k1cos 80 displaystyle begin aligned left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 amp frac 2 R R 2 tan 2 alpha R 2 k 1 cos theta 0 left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 amp 2R tan 2 alpha R 2 k 1 cos theta 0 end aligned Det andet led indeholder to konstanter som helst skal udtrykkes ved andre storrelser for at stemme overens med kasteparablen Pga udtrykket for r displaystyle r er konstanten k1 displaystyle k 1 er givet ved R r 80 1k1cos 80 1pk1 1 RpRcos 80 displaystyle begin aligned R amp r theta 0 frac 1 k 1 cos theta 0 frac 1 p k 1 amp frac 1 frac R p R cos theta 0 end aligned Dette indsaettes til at starte med i den anden afledte 2r 82 80 2Rtan2 a R21 RpRcos 80 cos 80 2r 82 80 2Rtan2 a R R2p displaystyle begin aligned left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 amp 2R tan 2 alpha R 2 frac 1 frac R p R cos theta 0 cos theta 0 left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 amp 2R tan 2 alpha R frac R 2 p end aligned For et objekt der kastes ved Jordens overflade kan impulsmomentet udtrykkes vha startfarten og affyringsvinklen L Rmv0cos a displaystyle L Rmv 0 cos alpha hvor R displaystyle R er Dermed er p displaystyle p p R2m2v02cos2 a GMm2 R2v02GMcos2 a v02gcos2 a displaystyle p frac R 2 m 2 v 0 2 cos 2 alpha GMm 2 frac R 2 v 0 2 GM cos 2 alpha frac v 0 2 g cos 2 alpha fordi g GMR2 displaystyle g frac GM R 2 Dette udtryk for p displaystyle p indsaettes 2r 82 80 2Rtan2 a R R2v02gcos2 a 2r 82 80 2Rtan2 a R R2gv02cos2 a displaystyle begin aligned left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 amp 2R tan 2 alpha R frac R 2 frac v 0 2 g cos 2 alpha left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 amp 2R tan 2 alpha R frac R 2 g v 0 2 cos 2 alpha end aligned Tangens funktionen kan med fordel omskrives til cosinus tan2 a sin2 a cos2 a 1 cos2 a cos2 a 1cos2 a 1 displaystyle tan 2 alpha frac sin 2 alpha cos 2 alpha frac 1 cos 2 alpha cos 2 alpha frac 1 cos 2 alpha 1 Den anden afledte bliver da 2r 82 80 2R 1cos2 a 1 R R2gv02cos2 a 2r 82 80 2Rcos2 a 2R R R2gv02cos2 a 2r 82 80 2R R2gv02 1cos2 a R displaystyle begin aligned left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 amp 2R left frac 1 cos 2 alpha 1 right R frac R 2 g v 0 2 cos 2 alpha left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 amp frac 2R cos 2 alpha 2R R frac R 2 g v 0 2 cos 2 alpha left frac partial 2 r partial theta 2 right theta 0 amp left 2R frac R 2 g v 0 2 right frac 1 cos 2 alpha R end aligned Endelig kan et udtryk for y displaystyle y opstilles y x Rtan a xR 12 2R R2gv02 1cos2 a R xR 2y x tan a x 1R g2v02 1cos2 a 1R x2 displaystyle begin aligned y x amp left R tan alpha right frac x R frac 1 2 left left 2R frac R 2 g v 0 2 right frac 1 cos 2 alpha R right left frac x R right 2 y x amp tan alpha x left left frac 1 R frac g 2v 0 2 right frac 1 cos 2 alpha frac 1 R right x 2 end aligned For sma afstande meget mindre end Jordens radius x R displaystyle x ll R er brokerne med radiussen i naevneren tilnaermelsesvist 0 y x tan a x g2v02cos2 a x2 displaystyle y x tan alpha x frac g 2v 0 2 cos 2 alpha x 2 Dermed er kasteparablen blevet udledt fra Keplers forste lov KildehenvisningerKumar Anant Chakravarti Mohnish Mahajan Nihar et al Deriving Kepler s Laws Brilliant hentet 29 juni 2019 a href wiki Skabelon Citation class mw redirect title Skabelon Citation citation a Eksplicit brug af et al i efternavn4 hjaelp