For andre betydninger af ordet Kvadrat se Kvadrat flertydig Ved kvadratsaetningerne forstar man tre ligninger som viser sig nyttige ved mange elementaere omskrivninger inden for matematisk algebra KvadratsaetningerneDer er tre kvadratsaetninger Forste kvadratsaetning a b 2 a2 b2 2 a b displaystyle color Green a b 2 color Red a 2 color NavyBlue b 2 color BurntOrange 2 cdot a cdot b Anden kvadratsaetning a b 2 a2 b2 2 a b displaystyle color Green a b 2 color Red a 2 color NavyBlue b 2 color BurntOrange 2 cdot a cdot b Tredje kvadratsaetning a b a b a2 b2 displaystyle color Green a b cdot color Red a b color NavyBlue a 2 color BurntOrange b 2 Storrelserne a displaystyle a og b displaystyle b kan vaere simple tal eller sammensatte udtryk jfr eksemplerne herunder Saetningerne kan huskes ved hjaelp af folgende remser Kvadratet pa en sum af to led er lig kvadratet pa forste led plus kvadratet pa andet led plus det dobbelte produkt Kvadratet pa en differens af to led er lig kvadratet pa forste led plus kvadratet pa andet led minus det dobbelte produkt To leds sum ganget med de samme to leds differens er lig med kvadratet pa forste led minus kvadratet pa andet led Produkt af to flerleddede storrelserSaetningerne folger elementaert af den generelle regel for udregning af produktet af to flerleddede storrelser Hvert led i den ene faktor ganges med hvert led i den anden faktor For eksempel er a b c d e a c a d a e b c b d b e displaystyle a b cdot c d e a cdot c a cdot d a cdot e b cdot c b cdot d b cdot e Reglen kan bruges til f eks at bevise den tredje kvadratsaetning a b a b a a a b b a b b a2 b2 displaystyle a b cdot a b a cdot a a cdot b b cdot a b cdot b a 2 b 2 Geometriske illustrationerI det tilfaelde at a gt b gt 0 displaystyle a gt b gt 0 altsa hvor a displaystyle a og b displaystyle b er positive og a displaystyle a er storst kan man indse rigtigheden af de tre kvadratsaetninger ved hjaelp af simple illustrationer Af figuren aflaeses umiddelbart at a b 2 displaystyle a b 2 kan sammenstykkes af a2 displaystyle a 2 b2 displaystyle b 2 og to gange a b displaystyle a cdot b hvilket illustrerer forste kvadratsaetning Af figuren aflaeses at a2 displaystyle a 2 kan sammenstykkes af a b 2 displaystyle a b 2 b2 displaystyle b 2 og to gange a b b displaystyle a b cdot b dvs a2 a b 2 b2 2 a b b displaystyle a 2 a b 2 b 2 2 cdot a b cdot b a b 2 b2 2 a b 2 b2 displaystyle a b 2 b 2 2 cdot a cdot b 2 cdot b 2 a b 2 2 a b b2 displaystyle a b 2 2 cdot a cdot b b 2 hvilket omskrives til anden kvadratsaetning Af figuren til hojre aflaeses umiddelbart at arealet af det bla omrade er a2 b2 displaystyle a 2 b 2 Ved at flytte det gront stiplede omrade kan figuren til hojre fremkomme Arealet af det bla omrade ses nu at vaere a b a b displaystyle a b cdot a b hvilket illustrerer rigtigheden af tredje kvadratsaetning Eksempler pa anvendelse1072 100 7 2 1002 72 2 100 7 10000 49 1400 11449 displaystyle 107 2 100 7 2 100 2 7 2 2 cdot 100 cdot 7 10000 49 1400 mathbf 11449 55 45 50 5 50 5 502 52 2500 25 2475 displaystyle 55 cdot 45 50 5 cdot 50 5 50 2 5 2 2500 25 mathbf 2475 4 p 3 q 2 24 p q 16 p2 9 q2 24 p q 24 p q 16 p2 9 q2 displaystyle 4 cdot p 3 cdot q 2 24 cdot p cdot q 16 cdot p 2 9 cdot q 2 24 cdot p cdot q 24 cdot p cdot q mathbf 16 cdot p 2 9 cdot q 2 x2 y2x y x2 y2x y x y x y x y x y x y x y x y x y 2 x displaystyle frac x 2 y 2 x y frac x 2 y 2 x y frac x y cdot x y x y frac x y cdot x y x y x y x y mathbf 2 cdot x Omskrivning af en kvadratisk form for at bestemme den tilhorende kurveform x2 2 x y2 6 y 26 0 displaystyle x 2 2 cdot x y 2 6 cdot y 26 0 Leftrightarrow x2 2 x 1 1 y2 6 y 9 9 26 0 displaystyle x 2 2 cdot x 1 1 y 2 6 cdot y 9 9 26 0 Leftrightarrow x2 2 x 1 y2 6 y 9 1 9 26 36 displaystyle x 2 2 cdot x 1 y 2 6 cdot y 9 1 9 26 36 Leftrightarrow x 1 2 y 3 2 62 displaystyle mathbf x 1 2 y 3 2 6 2 Ligningen fremstiller altsa en cirkel med centrum i 1 3 displaystyle 1 3 og radius 6 displaystyle 6 dd Division med et komplekst tal her udnyttes at i2 1 displaystyle mathrm i 2 1 16 8 i 6 8 i 6 8 i 6 8 i 6 8 i36 64 6 8 i100 0 06 0 08 i displaystyle frac 1 6 8 cdot mathrm i frac 6 8 cdot mathrm i 6 8 cdot mathrm i cdot 6 8 cdot mathrm i frac 6 8 cdot mathrm i 36 64 frac 6 8 cdot mathrm i 100 mathbf 0 06 0 08 cdot mathrm i dd Kvadratsaetningerne anvendes ved udledning af losningsformlen for andengradsligninger GeneraliseringerVed fortsat multiplikation finder man a b 3 a3 3 a2 b 3 a b2 b3 displaystyle a b 3 a 3 3 cdot a 2 cdot b 3 cdot a cdot b 2 b 3 a b 4 a4 4 a3 b 6 a2 b2 4 a b3 b4 displaystyle a b 4 a 4 4 cdot a 3 cdot b 6 cdot a 2 cdot b 2 4 cdot a cdot b 3 b 4 a b n an n1 an 1 b n2 an 2 b2 nk an k bk nn 1 a bn 1 bn displaystyle a b n a n tbinom n 1 cdot a n 1 cdot b tbinom n 2 cdot a n 2 cdot b 2 tbinom n k cdot a n k cdot b k tbinom n n 1 cdot a cdot b n 1 b n Her er nk displaystyle tbinom n k en binomialkoefficient og koefficienterne danner et talskema som kaldes Pascals trekant ReferencerTommy Boch Maengder og tal Forlaget FAG 1982 side 2 Jens Carstensen Jesper Frandsen Matematik 1 for obligatorisk niveau Systime 1988 side 27 Jens Carstensen Jesper Frandsen Matematik 1 Systime 1997 side 14 Knud Erik Nielsen Esper Fogh Vejen til matematik AB1 Forlaget Hax 2005 side 24 25