I matematikken er en σ-algebra (eller en sigma-algebra; sigma er et græsk bogstav) i en mængde X en ikketom samling, Σ, af delmængder af X, der er under komplementdannelse og tællelig forening af samlingens elementer.
Hvis for eksempel X={a, b, c, d}, kunne en σ-algebra være Σ = { ∅, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d} }.
Begrebet bruges primært i definitionen af mål på X og er vigtigt i matematisk analyse og sandsynlighedsteori.
Definition og egenskaber
En familie af delmængder, Σ, på en mængde X kaldes en σ-algebra, hvis
Med andre ord:
En familie, Σ, af delmængder af X er en σ-algebra, hvis
- Σ indeholder X (eller, Σ indeholder den tomme mængde)
- Σ er lukket under komplementdannelse
- Σ er lukket under tællelig forening
Det følger direkte fra disse aksiomer, at X og den tomme mængde er elementer i Σ, og, fra de Morgans love, at en σ-algebra også er lukket under tællelig fællesmængdedannelse.
Et ordnet par (X, Σ), bestående af en mængde, X, og en σ-algebra, Σ, på X kaldes et måleligt rum. Elementerne i en σ-algebra kaldes målelige mængder. Et mål på (X, Σ) er en funktion, der (på passende vis – se artiklen om målet) tillægger hver mængde i Σ en værdi [0,∞], og kan tolkes som et forsøg på at give mening til begrebet 'størrelse' eller 'volumen' af mængder. Man kunne måske ønske at forsyne enhver delmængde af X med en størrelse, men udvalgsaksiomet medfører, at hvis størrelsen der betragtes er standardlængden af intervaller (så intervallet [a,b] har mål b − a), findes mængder, kaldet Vitalis mængder, for hvilke målet ikke kan defineres. Af denne grund betragtes i stedet kun samlingen af delmængder af X, hvor målet er defineret, og disse mængder udgør σ-algebraen.
En funktion mellem to målrum kaldes , hvis af enhver målelig mængde under funktionen er en målelig mængde. Samlingen af målelige rum danner en kategori med de målelige funktioner som .
Frembragte σ-algebraer
Hvis U er en familie af delmængder af X kan dannes en speciel σ-algebra, kaldet σ-algebraen frembragt af U, der betegnes σ(U) og defineres som følger. Det bemærkes først, at der eksisterer en σ-algebra i X, der indeholder U; navnlig potensmængden af X. Da defineres σ(U) som fællesmængden af alle σ-algebraer, der indeholder U. Derved er σ(U) den mindste σ-algebra i X, der indeholder U. Som et simpelt eksempel betragtes X={1,2,3}. Da er σ-algebraen frembragt af delmængden {1} givet ved σ({1}) = { ∅, {1}, {2,3}, X}. Hvis frembringerfamilien kun indeholder én delmængde, A misbruges notationen ofte, og man skriver σ(A) i stedet for σ({A}).
Eksempler
Lad X være en mængde. Da er følgende mængder σ-algebraer i X:
- Familien bestående af den tomme mængde og X (og denne σ-algebra kaldes den minimale eller trivielle σ-algebra i X).
- Hele potensmængden af X.
- Samlingen af delmængder af X, der er tællelige eller hvis komplement er tælleligt (hvilket er en mængde, der er ulig potensmængden af X hvis og kun hvis X er overtællelig.) Dette er σ-algebraen frembragt af alle singletonmængder i X.
- Hvis {Σa} er en familie af σ-algebraer i X, er fællesmængden af alle Σa igen en σ-algebra i X.
Eksempler på frembragte σ-algebraer
Et vigtigt eksempel er i et topologisk rum, først angivet i R af i 1898. Denne er defineret som σ-algebraen frembragt af de åbne mængder (eller, ækvivalent, de ). Bemærk her, at denne σ-algebra generelt ikke er hele potensmængden. For et ikke-trivielt eksempel kan igen nævnes Vitalis mængde.
På det euklidiske rum Rn, er mængden af mængder vigtig. Denne σ-algebra indeholder flere elementer end Borelalgebraen i Rn og foretrækkes i , da den giver et .