Den naturlige logaritme ln displaystyle ln er en af de vigtigste matematiske funktioner og den har utallige teoretiske og praktiske anvendelser Det er en trancendent funktion hvilket vil sige at den ikke kan defineres ved hjaelp af polynomier og roduddragning men er defineret ved hjaelp af infinitisimalregning Det er en logaritmefunktion med grundtallet e e 2 718281828 displaystyle e approx 2 718281828 for hvilken der gaelder atGraf for den naturlige logaritme y ln x displaystyle y ln x Funktionen gar mod minus uendelig nar x displaystyle x gar mod nul Funktionen gar langsomt mod uendelig for x displaystyle x gaende mod uendelig ln e 1 displaystyle ln e 1 Den naturlige logaritme er den inverse funktion af den naturlige eksponentialfunktion Til forskel fra andre logaritmer der som oftest betegnes loga x displaystyle log a x hvor a repraesenterer grundtallet bruger man hyppigst blot notationen ln x displaystyle ln x for den naturlige logaritme Mange steder i litteraturen benyttes dog lidt misvisende log x displaystyle log x til at betegne den naturlige logaritme Siden man begyndte at bruge lommeregnere og computere til at foretage beregninger er man i mange tilfaelde gaet over til at anvende naturlige logarimer i stedet for 10 talslogaritmer DefinitionDen naturlige logaritme i punktet a gt 0 displaystyle a gt 0 er defineret som integralet af funktionen 1 x displaystyle 1 x fra 1 til a displaystyle a ln a 1a1xdx displaystyle ln a equiv int 1 a frac 1 x rm d x Definitionen pa den naturlige logaritme af a displaystyle a givet ved arealet under 1 x displaystyle 1 x fra 1 displaystyle 1 til a displaystyle a For a e displaystyle a e er arealet eksakt 1 displaystyle 1 RegnereglerUd fra definitionen af naturlig logaritme kan man bevise folgende logaritmeregler ln a b ln a ln b for a b gt 0 displaystyle ln left a cdot b right ln left a right ln left b right mbox for a b gt 0 ln ab ln a ln b displaystyle ln left a over b right ln left a ln b right ln ax x ln a displaystyle ln left a x right x cdot ln a Den forste af disse logaritmeregler kan vises ved at benytte t xa displaystyle t dfrac x a som vist her ln a b displaystyle ln left a cdot b right 1ab1xdx displaystyle int 1 ab frac 1 x rm d x 1a1xdx aab1xdx displaystyle int 1 a frac 1 x rm d x int a ab frac 1 x rm d x 1a1xdx 1b1tdt displaystyle int 1 a frac 1 x rm d x int 1 b frac 1 t rm d t ln a ln b displaystyle ln left a right ln left b right De ovrige regneregler kan vises pa lignende made ud fra definitionen Derudover gaelder folgende regneregler ln ab ln ba displaystyle ln left a over b right ln left b over a right eln a a displaystyle rm e ln left a right a Differentiation og integrationDifferentialkvotienten af ln x displaystyle ln x er givet ved folgende ddx ln x 1x displaystyle rm d over rm d x left ln x right 1 over x hvilket folger umiddelbart af definitionen Det ubestemte integral af ln x displaystyle ln x er givet ved ln x dx x ln x 1 c displaystyle int left ln x right textrm d x x left ln left x right 1 right c RaekkerepraesentationerIllustration af hvorledes raekken k 1n 1 k 1 x 1 kk displaystyle sum k 1 n 1 k 1 frac x 1 k k konvergerer mod ln x displaystyle ln x for 0 lt x 2 displaystyle 0 lt x leq 2 for et stigende antal led n displaystyle n i raekken Maclaurinraekken for funktionen ln 1 x displaystyle ln 1 x kaldes Mercators raekke og er givet ved ln 1 x x 12x2 13x3 14x4 n 1 1 n 1 xnn for 1 lt x 1 displaystyle begin aligned ln left 1 x right amp x frac 1 2 x 2 frac 1 3 x 3 frac 1 4 x 4 cdots amp sum n 1 infty 1 n 1 frac x n n qquad text for 1 lt x leq 1 end aligned Foretages substitutionen x x 1 displaystyle x rightarrow x 1 finder man folgende raekkerepraesentation for den naturlige logaritme ln x x 1 12 x 1 2 13 x 1 3 14 x 1 4 n 1 1 n 1 x 1 nn for 0 lt x 2 displaystyle begin aligned ln left x right amp x 1 frac 1 2 x 1 2 frac 1 3 x 1 3 frac 1 4 x 1 4 cdots amp sum n 1 infty 1 n 1 frac x 1 n n qquad text for 0 lt x leq 2 end aligned Denne raekke er den simpleste raekkerepraesentation for den naturlige logaritme men den konvergerer kun forholdsvis langsomt og er altsa kun gyldigt i et mindre vaerdiomrade Ved at kombinere Mercators raekke med de basale regneregler for den naturlige logaritme kan man fremkomme med andre interessante raekkerepraesentationer Foretager man f eks substitutionen x x displaystyle x rightarrow x skifter fortegnet pa alle de led i Mercators raekken ln 1 x x 12 x 2 13 x 3 14 x 4 x 12x2 13x3 14x4 for 1 x lt 1 displaystyle begin aligned ln left 1 x right amp x frac 1 2 x 2 frac 1 3 x 3 frac 1 4 x 4 cdots amp x frac 1 2 x 2 frac 1 3 x 3 frac 1 4 x 4 cdots quad text for 1 leq x lt 1 end aligned Ved hjaelp af raekkerepraesentationerne for ln 1 x displaystyle ln left 1 x right og ln 1 x displaystyle ln left 1 x right findes da ln 1 x1 x ln 1 x ln 1 x 2x 23x3 25x5 n 0 22n 1x2n 1 for x lt 1 displaystyle begin aligned ln left frac 1 x 1 x right amp ln left 1 x right ln left 1 x right amp 2x frac 2 3 x 3 frac 2 5 x 5 cdots amp sum n 0 infty frac 2 2n 1 x 2n 1 mbox for x lt 1 end aligned Dette er en interessant raekke idet argumentet 1 x 1 x displaystyle 1 x 1 x antager alle mulige positive reelle vaerdier for x lt 1 displaystyle x lt 1 Dette kan benyttes til at udlede en generel raekkerepraesentation for ln x displaystyle ln x gaeldende for hele funktionens vaerdiomrade Hvis vi definerer t x 1x 1 displaystyle t frac x 1 x 1 Illustration af hvorledes raekken k 0n22k 1 x 1x 1 2k 1 displaystyle sum k 0 n frac 2 2k 1 left frac x 1 x 1 right 2k 1 konvergerer mod ln x displaystyle ln x for et stigende antal led n displaystyle n i raekken kan vi udtrykke x t displaystyle x t som x 1 t1 t displaystyle x frac 1 t 1 t Derved findes folgende raekkerepraesentation for den naturlige logaritme ln x ln 1 t1 t 2t 23t3 25t5 2 x 1x 1 23 x 1x 1 3 25 x 1x 1 5 n 0 22n 1 x 1x 1 2n 1 for x gt 0 displaystyle begin aligned ln left x right amp ln left frac 1 t 1 t right amp 2t frac 2 3 t 3 frac 2 5 t 5 cdots amp 2 cdot frac x 1 x 1 frac 2 3 left frac x 1 x 1 right 3 frac 2 5 left frac x 1 x 1 right 5 cdots amp sum n 0 infty frac 2 2n 1 left frac x 1 x 1 right 2n 1 quad text for x gt 0 end aligned som altsa er gaeldende for alle positive reelle tal Raekken konvergerer hurtigst for vaerdier omkring x 1 displaystyle x 1 som vist i figuren Specielle vaerdierAf definitionen pa den naturlige logaritme fremgar det at ln 1 0 displaystyle ln left 1 right 0 Indsaettes x 1 displaystyle x 1 i Maclaurin raekken for ln 1 x displaystyle ln 1 x fremkommer den alternerende harmoniske raekke ln 2 displaystyle ln left 2 right n 1 1 n 1 1n displaystyle sum n 1 infty 1 n 1 frac 1 n 1 12 13 14 displaystyle 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 cdots 0 69314718055994530941723212145818 displaystyle simeq 0 69314718055994530941723212145818 ldots Relation til andre logaritmefunktionerLogaritmefunktionen med grundtal a er relateret til den naturlige eksponentialfunktion ved ligningen loga x ln x ln a displaystyle log a x frac ln x ln a Denne ligning kan bruges til at definere de ovrige logaritmefunktioner ud fra den naturlige logaritmefunktion og regnereglerne for for de ovrige logaritmefunktioner folger ogsa umiddelbart ud fra denne ligning Tilsvarende gaelder at ln x loga x loga e displaystyle ln x frac log a x log a rm e Den naturlige logaritmefunktion skiller sig ud blandt logaritmefunktionerne ved at den er simplere at differentiere og integrere