For alternative betydninger, se Spektrum. ()
Begrebet spektrum bliver brugt inden for funktionsanalyse som en generalisering af konceptet af egenværdier af en matrix. I det følgende ses der på spektrum for begrænsede operatorer.
Definition
Hvis er en begrænset lineær operator på et
, så er spektret af
mængden af komplekse tal
hvor
ikke er invertibel, hvor
er identitetsoperatoren. Spektret af
skrives som
.
Spektret kan også anses som værende komplementet til hvad der kaldes resolvent mængden som er mængden af
hvor
er invertibel. Lidt mere formelt er
mængden
hvor
eller
og
er domænet for
.
Elementer i spektrum
Man spørger nok sig selv om at siden spektrum er en generalisering af egenværdier af matricer, hvornår et element i spektrum er en egenværdi.
Sætning: Hvis er et normeret rum som er forskellig fra 0, så er spektret
ikke tomt.
Sætning: Resolvent mængden og åben, og spektret
er kompakt.
for en operator gælder det at den er invertibel hvis og kun hvis
er bijektiv. Dvs. at vi har to måder hvorpå vores operator ikke længere er invertibel, hvilket er hvis
ikke er injektiv eller surjektiv.
Element er en egenværdi i spektrum
Hvis ikke er injektiv, hvilket vil sige at funktionen
ikke er injektiv, da må der eksistere et
sådan så
. Dette er definitionen for hvornår
er en egenværdi, så hvis
ikke er injektiv er
en egenværdi i spektret for
.
Element er ikke en egenværdi i spektrum
Hvis et element ikke er en egenværdi, da er
ikke surjektiv (på). Dette kan ske på to måder:
- Billedmængden af
, som ikke er hele
er tæt i
. Denne del af spektret kaldes for det kontinuerte spektrum.
- Lukningen af billedmængden af
er en ægte delmængde af
. Denne del af spektret kaldes for det residuale spektrum.
Typer af spektrum
En generelt brugt måde at opdele spektret på er den følgende:
Vi ved at en begrænset lineær operator på et Hilbertrum er invertibel hvis og kun hvis den er begrænset nedefra og har en tæt billedmængde. Dette vil sige at et komplekst tal er i spektret for
hvis og kun hvis
ikke er begrænset nedefra og/eller at
ikke har tæt billedmængde. Dette fortæller os at man kan opdele spektret i to muligvis overlappende delmængder:
- Omtrentligt punkt spektrum (approximate point spectrum) af
er
ikke begrænset nedefra
.
- Kompressions spektret (compression spectrum) af
er
har ikke en tæt billedmængde
.
Det omtrentlige punkt spektrum består igen af to disjunkte dele som er de elementer som er egenværdier af , som skrives
, og komplementet af denne.
Man kan også opdele spektret i tre andre disjunkte dele:
- Punkt spektret (point spectrum) af
er
ikke er en-til-en/injektiv
. Så igen ser vi at punkt spektret består præcis af alle egenværdier af
.
- Det kontinuerte spektrum (the continuous spectrum) af
er
er en-til-en/injektiv
. Dette spektrum består af de
hvor billedmængden for
er tæt men er ikke lig med hele
.
- Det residuale spektrum (the recidual spectrum) af
er
er en-til-en/injektiv
. Dette spekre består af de
hvor billedmængden af
ikke er tæt.
Disse tre spektrum har den samme definition for Banachrum.
Egenskaber for spektret
Spektret for en operator på et Hilbert eller Banachrum indeholder vigtig information omkring operatoren.
Den er også en konjugeringsinvariant da:
Sætning: Hvis er en operator i
for et Banachrum
, og hvis
er en invertibel operator i
, så er
.
Ovenstående sætning angiver blot en måde hvorpå spektret ikke ændres, men det er ikke den eneste måde. For hvis er komplekse Hilbert rum som er forskellige fra 0, hvor
og
, dvs,
er invertibel, så gælder
.
.
.
Ved at disse holder, så gælder det også for spektret, resolvent mængden og for spektral radius.
Hvis også var unitær gælder også
Hvis vi antager at er et komplekst Hilbert rum og at
er enhedscirklen omkring origo i det komplekse plan, så gælder følgende:
- Hvis
er hyponormal (dvs.
eller
) så er
og
.
- Hvis
er normal så er
og
.
- Hvis
er unitær så er
.
- Hvis
er selvadjungeret så er
.
- Hvis
er positiv så er
.
- Hvis
er strengt positiv hvis
hvor
.
- Hvis
er en ikke triviel projektion så er
.
Flere egenskaber kan ses i.
Selvadjungerede operatorer
Generelt for en selvadjungeret operator i gælder der at enhver egenværdi for
er reel og at egenvektorerne for forskellige egenværdier er ortogonale.
Kompakte selvadjungerede operatorer i ![image]()
For en selvadjungeret begrænset operator på et Hilbertrum
er
.
Dette kan bruges til at vise at for en kompakt selvadjungeret operator i så er mindst et tallene
eller
en egenværdi for
, hvilket vil sige at mindst en af disse er et element i
.
Kompakte operatorer
Resultatet som bruges til at karakterisere de kompakte operatorer på et komplekst Hilbert rum kaldes 'the Fredholm Alternative' som siger følgende:
Sætning (Fredholm Alternative): Lad være en kompakt operator på et Hilbert rum
, og antag at
og
. Så har vi følgende:
- Hvis
er injektiv så er
invertibel.
- Hvis
afbilder surjektivt fra
til
, så er
invertibel.
En anden sætning giver at ethvert punkt i spektret som er forskellig fra 0 på en kompakt operator altid er egenværdier for operatoren.
Vi kan også yderligere beskrive elementerne i spektret for en kompakt operator ved følgende sætning.
Sætning: Tag en kompakt operator som er mængden af kompakte lineære transformationer, så har vi følgende:
- 0 er det eneste akkumuleringspunkt af
.
- Hvis
, så er
et isoleret punkt af
.
er en diskret delmængde af
.
er tællelig.
Spektralmapping for polynomier
Hvis er et polynomium med komplekse koefficienter, så for enhver delmængde
er
.
Sætning (Spektral mapping sætningen for polynomier): Tag en operator , hvor
er et komplekst Banachrum. Hvis
er et polynomium med komplekse koefficienter, så er
.
Denne sætning gælder også specielt hvis er en unital Banach algebra hvor
, så er
.
Eksempel: Hvis er et element i en unital Banach algebra som opfylder at
, og lad
. Så er
hvilket medfører at
. Dvs at
for alle
, hvilket giver os at
.
Denne sætning kan også udvides til at gælde for polynomier som gælder for normale operatorer i et Hilbertrum . Lad
og
være arbitrære delmængder af
og lad
være et polynomium i to variable med komplekse koefficienter, hvor
. Hvis vi i særdeleshed ser på
, da er
.
Sætning (Spektral mapping sætningen for normale operatorer): Hvis er normal og
er et polynomium i to variable, så er
.
Eksempler
- Hvis
er en øvre triangulær
matrix, så består
af elementerne på diagonalen af matricen
.
- Hvis
, hvor
er et kompakt Hausdorff rum, så er
for alle
.
er rummet af alle kvadratisk summable sekvenser, som også er et Banach rum. Den unilaterale skift operatoren
er
og dens inverse er
. Her er den nemmeste måde at bestemmespektrum for
er ved først at bestemme spektrum for
, da
ikke indeholder nogen egenværdier. Det første vi kan se er at spektret for
er indeholdt i mængden
. Som det næste kan vi vise at
er indeholdt i
og er egenværdier. Vi ser at hvis vi vælger vektoren
hvor
, så vil
være opfyldt og dermed er
egenværdier for
. Og da spektret er lukket er
. Så ved at bruge at hvis
ikke er invertibel så er
heller ikke invertibel, og dermed, da
så ser vi at
.
Kommutative Banach algebraer
Når vi arbejder med Banach algebraer (og dermed også C* algebraer) så har vi at , hvor
er en kommutativ unital Banach algebra,
og
er et kompakt Hausdorff rum.
Dette kommer af at komplekse homomorfier på en unital kommutativ Banach algebra er en ikke triviel multiplikativ lineær funktional , som er kontinuer med norm 1. Samlingen af alle disse ikke trivielle multiplikative lineære funktionaler kaldes det maksimale ideal rum og skrives
.
Måden hvorpå vi ser at spektrum er af denne form kommer af følgende:
Hvis vi vælger et og antager at
, da er
ikke invertibel og mængden
en ægte delmængde, da den ikke kan indeholde
. Ud fra dette kan man så se at den må være indeholdt i et maksimalt ideal som ved er kernen af en multiplikativ lineær funktional
. Så da
da er
.
Omvendt, hvis , så kan vi finde et
sådan så
. Så givet et hvilket som helst ikke triviel multiplikativ lineær funktional
på
, da har vi at
. Dette giver os så at
eller
for ethvert
.
Sætning (Gelfand): Hvis er et element i en unital Bananch algebra
, så er
.
Egenskaber
Hvis er en unital C* algebra og
er normal holder følgende:
er selvadjungeret hvis og kun hvis
.
er unitær hvis og kun hvis
.
hvis og kun hvis
.
Hvis er et selvadjungeret element i en unital C* algebra
, så siges
at være positiv hvis
, og så skrives
og de positive elementer i
skrives som
.
Sætning: Hvis vi lader være en lukket delalgebra af en unital Banach algebra
som indeholde enheden for
, så gælder følgende:
- Mængden
er en clopen (dvs. lukket og åben) delmængde af
.
- For ethvert
gælder det at
og
.
- Hvis
og
ikke har nogen huller, så er
.
Her ses det a vi ved hjælp af spektrum får vigtig information omkring operatoren.
Spektralradius
Det kan godt være vanskeligt at bestemme hvad spektret for en operator præcist er, så vi vil ønske at kunne indskrænke vores søgeområde. Dette er lige netop hvad den næste sætning giver os mulighed for at gøre.
Sætning (spektral radius formel): Hvis , som er en unital Banach algebra, da er spektral radius
Med denne sætning ved hånden, kan vi nu bestemme hvilket område i som spektret ligger i, og dermed indskrænke vores eftersøgningsområde for at bestemme spektret.
Eksempel: Hvis vi har , hvor
er et kompakt Hausdorff rum og dermed at
er en Banach algebra, så ses det at
, hvor
, så
. Benytter vi os af spektral radius formlen, så ses det at
da
.
Anvendelser
Spektret bruges som tidligere nævnt til at bestemme vigtige egenskaber ved en operator, så som om den er selvadjungeret, normal eller positiv.
Spektret for en operator bruges til klassifikation af operatoren i form af spektral sætningen (der findes flere versioner af denne). Dette skal ses som en udvidelse af den klassifikation som man ser i lineær algebra hvor der gøres brug af egenværdier, egenrum, minimal og karakteristiske polynomier.
Spektrum bruges også indenfor kvantemekanik, hvor spektret for en operator relateres til forklaringen af spektret for atomer.
References
- Sætning 2.2, C.S. Kubrusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces, Springer
- Sætning 2.1, C.S. Kubrusly,Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces, Springer
- Sætning 4.27, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
- Proposition 2.B, C.S. Kubrusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces
- Proposition 2.A, C.S. Krubusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces, Springer
- Afsnit 2.7, C.S. Kubrusly, Spectral Theory og Operators on Hilbert Spaces, Springer
- Sætning 4.20, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
- Sætning 4.19, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
- Sætning 4.32, B. MacCluer , Elementary Functional Analysis, Springer
- Sætning 4.31, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
- Korolar 2.20, C.S. Kubrusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert Spaces, Springer
- Sætning 2.7, C.S. Kubrusly, "Spectral Theory of Operators on Hilbert spaces", Springer
- Sætning 2.8, C.S. Kubrusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert spaces, Springer
- Sætning 5.28, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
- Sætning 5.26, B. MacCluer, Elementary functional Analysis, Springer
- Sætning 1.2.5, G. Murphy, C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press, Inc.
- Sætning 5.49, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
- Definition 5.54, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
- Sætning 1.2.8, G. Murphy, C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press, Inc.
- Sætning 5.15, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
- Side 98, B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, Springer
wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer