I matematikken siger Wilsons sætning (også kendt som Al-Haythams sætning), at p er et primtal hvis og kun hvis
(Se fakultet og for notationforklaring.)
Historie
Sætningen blev først opdaget af (Ibn al-Haytham) (også kendt som Alhazen), men er opkaldt efter John Wilson (en af den engelske matematiker Edward Warings elever) som genopdagede den mere end 700 år senere. Waring offentliggjorde sætningen i 1770, selvom hverken han eller Wilson kunne bevise den. Joseph Louis Lagrange publicerede det første bevis i 1773. Der findes beviser for at Gottfried Leibniz også kendte til resultatet et århundrede tidligere, men han publicerede det aldrig.
Et bevis
Dette bevis bygger på det faktum, at, hvis p er et ulige primtal, så danner mængden af tal G = (Z/pZ)× = {1, 2, ... p − 1} en gruppe under . Det betyder, at der for ethvert element a i G eksisterer et entydigt bestemt , b, i G, så ab ≡ 1 (mod p). Hvis a ≡ b (mod p, er a² ≡ 1 (mod p), hvilket betyder, at a² − 1 = (a + 1)(a − 1) ≡ 0 (mod p), og da p er et primtal, er a ≡ 1 eller −1 (mod p); altså er a = 1 eller a = p − 1.
Med andre ord er 1 og p − 1 deres egen inverse, men ethvert andet element i G har et inverst element forskelligt fra sig selv, og hvis elementerne i G samles parvist med dette i tankerne, fås produktet −1. For eksempel fås, hvis p = 11,
Hvis p = 2, er resultatet trivielt.
For et omvendt resultat, kan det antages, at kongruensen gælder for et tal n, der ikke er et primtal, men så har n en divisor d med 1 < d < n. Det er klart, at d går op i (n − 1)! men, pga. kongruensen, går d også op i (n − 1)! + 1, hvilket betyder, at d går op i 1 i modstrid med antagelsen.
Se også
wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer