Et andengradspolynomium er et polynomium hvori den uafhaengige variabel indgar i op til anden potens Det har altsa folgende forskrift P2 x ax2 bx c a 0 displaystyle P 2 x ax 2 bx c quad quad a neq 0 hvor P2 x displaystyle P 2 x er en funktion af den uafhaengige variabel x displaystyle x og a displaystyle a b displaystyle b og c displaystyle c er konstanter En funktion uden andenordensleddet er et forstegradspolynomium En funktion hvor det hojeste led er af tredje orden er et tredjegradspolynomium Konstanternes rolleAndengradspolynomiets graf i kartesiske koordinater er en parabel I hvert billede varieres en af konstanter a displaystyle a b displaystyle b og c displaystyle c mens da andre holdes konstante Hvis konstanten c displaystyle c aendres aendrer funktionsvaerdierne sig lige sa meget Konstanten b displaystyle b afgor sammen med a displaystyle a hvor funktionens ekstremum er mens a displaystyle a alene bestemmer eller den anden afledte idet d2P2 x dx2 2a displaystyle frac d 2 P 2 x dx 2 2a Det ses at krumningen bliver storre nar a displaystyle a bliver storre og et negativt a displaystyle a giver en negativ krumning NulpunkterUddybende artikel Andengradsligning x displaystyle x vaerdierne til de punkter hvor andengradspolynomiet P2 x x2 x 2 displaystyle P 2 x x 2 x 2 skaerer x displaystyle x aksen er r1 1 displaystyle r 1 1 og r2 2 displaystyle r 2 2 hvilket er losninger til andengradsligningen x2 x 2 0 displaystyle x 2 x 2 0 For andengradspolynomiets nulpunkter eller rodder ri displaystyle r i gaelder P2 ri ari2 bri c 0 displaystyle P 2 r i ar i 2 br i c 0 hvilket er en andengradsligning Losning Nulpunkterne er givet ved ri b b2 4ac2a displaystyle r i frac b pm sqrt b 2 4ac 2a hvor udtrykket i kvadratroden er diskriminanten d displaystyle d d b2 4ac displaystyle d b 2 4ac Diskriminanten er afgorende for hvilke losninger der er mulige Det gaelder d gt 0 displaystyle d gt 0 2 reelle losninger d 0 displaystyle d 0 1 reel losning denne losning kaldes en d lt 0 displaystyle d lt 0 Ingen reelle losninger men 2 komplekst konjugerede losninger Dette sker fordi kvadratroden tages af et negativt tal SymmetriAndengradspolynomiet er symmetrisk omkring et enkelt punkt s displaystyle s givet ved s b2a displaystyle s frac b 2a Bevis for symmetri Det kan vises ved at teste om der findes et punkt der opfylder symmetribetingelsen P2 s h P2 s h h gt 0 displaystyle P 2 s h P 2 s h quad quad h gt 0 hvor h displaystyle h er en konstant Forskriften skrives ud og forsimples sa vidt muligt a s h 2 b s h c a s h 2 b s h ca s h 2 bs bh a s h 2 bs bhas2 ah2 2ash bs bh as2 ah2 2ash bs bh 2ash bh 2ash bh h 2as b h 2as b displaystyle begin aligned a s h 2 b s h c amp a s h 2 b s h c a s h 2 bs bh amp a s h 2 bs bh as 2 ah 2 2ash bs bh amp as 2 ah 2 2ash bs bh 2ash bh amp 2ash bh h 2as b amp h 2as b end aligned Kun nul kan vaere lig med minus sig selv Da h displaystyle h er storre end nul ma udtrykket i parentesen vaere nul 2as b 02as bs b2a displaystyle begin aligned 2as b amp 0 2as amp b s amp frac b 2a end aligned Det ses at der altsa er et punkt som polynomiet er symmetrisk omkring Dette er ogsa polynomiets ekstremum da funktionen enten er stigende pa begge sider af punktet eller faldende pa begge sider af punktet EkstremumEt andengradspolynomium har altid et ekstremum Tp displaystyle T p og koordinaterne for dette er bestemt ved folgende formel Tp b2a d4a displaystyle T p left frac b 2a frac d 4a right Det vil enten vaere et minimum eller et maksimum afhaengigt af om konstanten a displaystyle a er positiv eller negativ Udledning af ekstremum Da x displaystyle x vaerdien for polynomiet allerede er fundet under Symmetri kan den indsaettes i funktionsforskriften for at finde y displaystyle y vaerdien t P2 s t a b2a 2 b b2a ct ab24a2 b22a ct b24a ct b2 4ac4at d4a displaystyle begin aligned t amp P 2 s t amp a left frac b 2a right 2 b left frac b 2a right c t amp a frac b 2 4a 2 frac b 2 2a c t amp frac b 2 4a c t amp frac b 2 4ac 4a t amp frac d 4a end aligned hvilket er det onskede udtryk Udledning ved differentiation Hvis x displaystyle x vaerdien ikke allerede kendes fra symmetrien kan den findes ved at differentiere andengradspolynomiet da haeldningen i et ekstremum er nul Haeldningen er givet ved dP2 x dx 2ax b displaystyle frac dP 2 x dx 2ax b Dette saettes til nul sa s displaystyle s kan findes 2as b 02as bs b2a displaystyle begin aligned 2as b amp 0 2as amp b s amp frac b 2a end aligned Det ses at ekstremum er det samme som symmetripunktet OmskrivningerForskriften for et andengradspolynomium kan omskrives sa forskellige aspekter ved polynomiet bliver tydeligere Herunder praesenteres faktorisering og toppunktsnotation Faktorisering For at gore rodderne tydelige kan et andengradspolynomium skrives som P2 x a x r1 x r2 displaystyle P 2 x a x r 1 x r 2 Bevis for faktorisering At polynomiet kan udtrykkes med rodderne kan vises Forst ganges parenteserne sammen P2 x a x2 r1 r2 x r1r2 displaystyle P 2 x a x 2 r 1 r 2 x r 1 r 2 Generelt er rodderne r1 b d2ar2 b d2a displaystyle begin aligned r 1 amp frac b sqrt d 2a r 2 amp frac b sqrt d 2a end aligned Dette indsaettes P2 x a x2 b d2a b d2a x b d2a b d2a P2 x a x2 bax 14a2 b2 d displaystyle begin aligned P 2 x amp a left x 2 left frac b sqrt d 2a frac b sqrt d 2a right x frac b sqrt d 2a cdot frac b sqrt d 2a right P 2 x amp a left x 2 frac b a x frac 1 4a 2 b 2 d right end aligned Udtrykket for diskriminanten indsaettes nu P2 x a x2 bax 14a2 b2 b2 4ac P2 x a x2 bax 4ac4a2 P2 x a x2 bax ca P2 x ax2 bx c displaystyle begin aligned P 2 x amp a left x 2 frac b a x frac 1 4a 2 b 2 b 2 4ac right P 2 x amp a left x 2 frac b a x frac 4ac 4a 2 right P 2 x amp a left x 2 frac b a x frac c a right P 2 x amp ax 2 bx c end aligned Hvilket er det oprindelige udtryk Toppunktsnotation For at gore polynomiets ekstremum tydeligt kan forskriften skrives som P2 x a x s 2 t displaystyle P 2 x a x s 2 t Bevis for toppunktsnotation Ligesom faktorisering kan denne notation vises ved at indsaette udtrykkene for ekstremum P2 x a x b2a 2 d4aP2 x a x2 b24a2 bax d4aP2 x ax2 bx b24a d4aP2 x ax2 bx b2 d4a displaystyle begin aligned P 2 x amp a left x frac b 2a right 2 frac d 4a P 2 x amp a left x 2 frac b 2 4a 2 frac b a x right frac d 4a P 2 x amp ax 2 bx frac b 2 4a frac d 4a P 2 x amp ax 2 bx frac b 2 d 4a end aligned Udtrykket for diskriminanten indsaettes P2 x ax2 bx b2 b2 4ac4aP2 x ax2 bx c displaystyle begin aligned P 2 x amp ax 2 bx frac b 2 b 2 4ac 4a P 2 x amp ax 2 bx c end aligned Hvilket er det oprindelige udtryk LitteraturKarush William 1962 Matematisk opslagsbog Politikens Forlag 2 udg 4 opl 2000 ISBN 87 567 5511 2 Eksterne henvisningerMatLex Andengradsligninger 18 juni 2007 hos Wayback Machine Quadratic Equation from MathWorld engelsk Online lommeregnere Andengradspolynomium, wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer