Ved et komplekst tal forstås en størrelse , som er en sum af to komponenter, ét reelt tal (realdelen) og et andet reelt tal (imaginærdelen) ganget med den imaginære enhedsstørrelse . Et komplekst tal kan derfor repræsenteres ved to reelle tal, og illustreres som et punkt i et koordinatsystem kaldet et Argand-diagram med en reel og en imaginær akse.
![image](https://www.wikidata.da-dk.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEuZGEtZGsubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkUzTDBOdmJYQnNaWGhRYkdGdVpTNXpkbWN2TWpJd2NIZ3RRMjl0Y0d4bGVGQnNZVzVsTG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Et komplekst tal skrives på formen
hvor og som angivet er vilkårlige reelle tal og hvor er en særligt konstrueret størrelse med egenskaben
Da det for ethvert reelt tal gælder, at , kan ikke være et reelt tal; størrelsen kaldes den imaginære enhed. Populært omtales også som "kvadratroden af -1", og det er netop en af de kendetegnende egenskaber ved komplekse tal, at et komplekst tal opløftet i 2. potens kan blive et negativt tal (modsat de reelle tal hvor selv et negativt tal i 2. potens altid er et positivt resultat).
En stringent definition af de komplekse tal og den imaginære enhed gives i dette afsnit. Den historiske udvikling beskrives i det historiske afsnit. Endelig er der et afsnit om anvendelse i matematik, fysik og teknik.
Reelle kontra komplekse tal
Nedenstående figurer illustrerer løst forskellen på reelle og komplekse tal.
![image](https://www.wikidata.da-dk.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEuZGEtZGsubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekV4TDFKbFlXeEJaR1JCYm1STmRXeDBMbk4yWnk4MU5UQndlQzFTWldGc1FXUmtRVzVrVFhWc2RDNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
De reelle tal er en éndimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter på en tallinie. Addition svarer til en parallelforskydning langs linjen og multiplikation svarer til en strækning af linjen.
![image](https://www.wikidata.da-dk.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEuZGEtZGsubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelZrTDBOdmJYQnNaWGhCWkdSQmJtUk5kV3gwTG5OMlp5ODFOVEJ3ZUMxRGIyMXdiR1Y0UVdSa1FXNWtUWFZzZEM1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
De komplekse tal er en todimensional talmængde og kan derfor opfattes som punkter i et talplan. Addition svarer til en parallelforskydning af planets punkter, mens multiplikation svarer til en strækning i kombination med en rotation af planets punkter.
Notation
[[File:|Mængden af komplekse tal
betegnes med bogstavet C
med dobbeltstreg.px|class=noviewer|]] I matematisk litteratur optræder både rækkefølgerne og
eller der veksles frit mellem dem. For at fremhæve den imaginære enhed
, anbefales det, at symbolet skrives uden kursivering.
Inden for vekselstrøm og elektroteknik benyttes et kursiveret lille til at betegne tidsvariable strømstyrker. Man vil her oftest støde på betegnelsen
for den imaginære enhed, selv om forvekslingsmuligheder næppe forekommer.
Her benyttes notationen .
Inden for de reelle tal er der tradition for at betegne variable med bogstaverne
og
; inden for de komplekse tal
anvendes traditionelt variabelnavne som
og
.
De to dele af det komplekse tal kaldes realdelen og imaginærdelen:
Realdelen af :
Imaginærdelen af :
Bemærk, at realdelen og imaginærdelen er reelle tal.
Entydighed
Fremstilling af et komplekst tal på formen er entydig. Antag nemlig, at der foreligger to fremstillinger:
og
Man kan da omskrive således:
hvoraf
Antag at . Ved division fås da, at
Brøken på venstre side er et reelt tal, medens højre side er imaginær. Antagelsen fører altså til en modstrid og må derfor forkastes, dvs.
. Videre følger, at
, så også
. De to fremstillinger er altså ens.
Elementære regneregler for komplekse tal
![image](https://www.wikidata.da-dk.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEuZGEtZGsubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWlMMkl4TDBOdmJYQnNaWGhCWkdScGRHbHZibm94ZWpJdWMzWm5Mek13TUhCNExVTnZiWEJzWlhoQlpHUnBkR2x2Ym5veGVqSXVjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Reglerne er helt de samme som for reelle tal, blot skal man erindre, at .
Vi betragter to komplekse tal,
og
.
Kompleks addition:
| (1) |
Kompleks subtraktion:
| (2) |
Kompleks multiplikation:
| (3) |
Kompleks division:
| (4) |
Kompleks konjugering:
-
(5)
Det læses "z-streg". Bemærk, at divisionen udføres ved at forlænge brøken med nævnerens konjugerede tal.
Eksempler |
| (Eks. 1) |
Elementær regning med komplekse tal
De to sidste eksempler viser beregninger med to af kvadratsætningerne.
Definition af de komplekse tal
Konstruktion
De komplekse tal kan konstrueres med udgangspunkt i polynomier af grad 1 med koefficienter i
(
[x]) Altså polynomier på formen s. 253
Alle komplekse tal er på samme form, hvor "x" bliver kaldt "i"
Når man ganger polynomier af anden grad kan man dog få polynomier af højere grad, for eksempel
Som en del af konstruktionen, definere vi x^2 til -1. For eksempel bliver udtrykket ovenfor til
Derved kan all polynomier bringes ned til grad 1 og derved den karakteristiske form af komplekse tal
Da komplekse tal også er polynomier (altså er i [x]), gælder alle de samme regler. Vi kan derfor lægge dem sammen, trække dem fra hindanen og gange, helt på samme måde som
[x]. Man normalt ikke dividere i
[x], dog kan man alligevel dividere komplekse tal, som det næste viser
Reciprokt element
Det reciprokke element af s. 46
er elementet
ved at gange de 2 tal får vi
Hvis vi ønsker at dividere a med b, ganger vi så bare det reciprokke element af b med a
factor ring konstruktion
Den samme konstruktion af komplekse tal kan udtrykkes mere kompakt, ved brug af hi-tech sprog af abstract algebra. De komplekse tal er isomorphic til R[x]/<x^2 + 1>. Denne konstruktion er helt tilsvarende til den allerede givet. Ch 12, 13 og 14
R[x] er et integral domain da R også er. x^2 + 1 er i denne ring og <x^2 + 1> er dens principal ideal. Dette er også er maksimal ideal. Så dens factor ring er et field. Denne ring er så isomorphic til de komplekse tal. For eksempel
Dette svare så til (efter en isomorphism)
De reelle tal
i de komplekse tal ![image]()
Vi betragter nu specielt den delmængde af de komplekse tal, hvis imaginærdel er nul. R er lukket indlejret mængde af R[x], derfor må R også være en lukket indlejring mængde af C. Dette betyder at R er lukket under multiplikation og addition, altså at man ikke man konstruere C fra R kun ved brug af disse operationer. På denne baggrund tillader man sig at identificere det komplekse tal med det reelle tal
.
C kan også ses som et vector space over R. Et set basis vectors er så givet ved {1, i}. Ser man bort fra multiplikation af komplekse tal, er de komplekse tal identiske med . For eksempel kan et udtryk i C s. 330
Udtrykkes som et i
Kartesisk og polær beskrivelse af komplekse tal
Kartesisk beskrivelse: Kompleks talplan
![image](https://www.wikidata.da-dk.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEuZGEtZGsubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekU1TDBOdmJYQnNaWGhEYjI1cWRXZGhkR2x2Ymk1emRtY3ZNelV3Y0hndFEyOXRjR3hsZUVOdmJtcDFaMkYwYVc5dUxuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Et komplekst tal kan naturligt illustreres med et punkt med koordinaterne
i et koordinatsystem med den reelle akse som ordinat og den imaginære akse som abscisse. Dette talplan kaldes det komplekse eller det gaussiske plan eller argand-planet. Om baggrunden for disse betegnelser se det historiske afsnit.
Nogle geometriske fortolkninger:
- Da
, svarer kompleks konjugering, jfr. ligning (5), til spejling om den reelle akse.
- Da addition sker efter samme regel som for vektorer, kan en sum
konstrueres som et parallelogram.
- Multiplikation med
sker ved drejning på
, division ved drejning på
.
- Da
, fås realdelen ved projektion af
på den reelle akse.
- Da
, fås imaginærdelen ved projektion af
på den imaginære akse.
Endvidere ses det, at real- og imaginærdel kan udtrykkes ved og
:
Polær beskrivelse: Modulus og argument
![image](https://www.wikidata.da-dk.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEuZGEtZGsubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODFMelV6TDBOdmJYQnNaWGhEWVhKMFpYTnBZVzVRYjJ4aGNpNXpkbWN2TXpVd2NIZ3RRMjl0Y0d4bGVFTmhjblJsYzJsaGJsQnZiR0Z5TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Et komplekst tal , som ikke er lig nul, kan ved siden af sine kartesiske koordinater
også beskrives ved sine polære koordinater
. Her betegner
punktets afstand fra origo
og
er den vinkel, som liniestykket
danner med den reelle akse, se figuren.
Den polære koordinat kaldes det komplekse tals modulus eller numeriske værdi eller norm og skrives
Den polære koordinat kaldes det komplekse tals argument og skrives
Her er den arcustangens-funktion, som beregner den vinkel, som en linje fra origo til punktet med koordinaterne
danner med førsteaksen.
Det komplekse tal har modulus
, men tillægges ikke noget argument.
Argumentet for et komplekst tal er en flertydig størrelse: Hvis er argument for
, så kan også ethvert af tallene
bruges som argument, fordi addition af et multiplum af
( eller
i gradmål) udpeger den samme retning. Man vælger ofte at lade
ligge i det halvåbne interval
( eller i gradmål
).
Eksempler |
| (Eks. 3) |
Multiplikation og division af to komplekse tal på polær form
De kartesiske koordinater for et komplekst tal med modulus
og argument
fås ved projektion på den reelle hhv. imaginære akse:
Tallet kan derfor skrives
.
Heraf finder vi, at produktet af to komplekse tal
bliver
hvor vi i den sidste omskrivning har anvendt to af de trigonometriske . Man kan heraf konkludere, at
For gælder, at
. Heraf slutter vi dels at
og dels at
Heraf følger
samt
Funktionen cis
Den irske matematiker William Rowan Hamilton, omtalt i det historiske afsnit, indførte hjælpefunktionen med komplekse funktionsværdier:
-
(9)
Navnet kan opfattes som en sammentrækning af cosinus, imaginær og sinus. Ved differentiation med hensyn til fås
Funktionen differentieres altså efter samme regel som en eksponentialfunktion.
Desuden har funktionen følgende egenskaber fælles med den naturlige eksponentialfunktion :
Anvendelse af medfører en kortere notation og forbedret læselighed, for eksempel
kontra
.
de Moivres formel og heltalspotenser
Hvis man i formlen for produktet af og
sætter
, får man
og for produktet af og
fås
hvilket straks kan generaliseres til
Dette er de Moivres formel (udtales "dø mo-A-vre"). I udfoldet form lyder den
-
(10)
![image](https://www.wikidata.da-dk.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEuZGEtZGsubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlV4TDBOdmJYQnNaWGhRYjNkbGNuTXVjM1puTHpNMU1IQjRMVU52YlhCc1pYaFFiM2RsY25NdWMzWm5MbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
eller med anvendelse af -funktionen, jfr. definitionen (9)
Opløftning af et komplekst tal til
-te potens kan altså udføres ved at opløfte dets modulus
i
-te potens og gange dets argument
med
. Figuren viser nogle eksempler på mulige resultater.
Fordelen ved de Moivres formel for er, at man kan beregne resultatet uden først at skulle finde værdien af mellemliggende potenser
,
, ...
. Ulempen er, at man skal benytte beregningstunge trigonometriske funktioner i beregningen af
samt i bestemmelse af real- og imaginærdel.
Eksempler |
| (Eks. 4) |
For det komplekse tal er
Potenser af beregnet kartesisk og polært (med de Moivres formel) vises i tabellen herunder; resultaterne stemmer naturligvis overens.
Potens | Kartesiske | Modulus | Argument | Realdel | Imaginærdel |
---|---|---|---|---|---|
Komplekse enhedsrødder
![image](https://www.wikidata.da-dk.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEuZGEtZGsubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHhMekZsTDBOdmJYQnNaWGhWYm1sMFVtOXZkSE11YzNabkx6TTFNSEI0TFVOdmJYQnNaWGhWYm1sMFVtOXZkSE11YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Inden for de reelle tals mængde har ligningen
enten én eller to reelle løsninger, nemlig
, hvis
er ulige, og
og
, hvis
er lige.
Ifølge algebraens fundamentalsætning har ligningen
komplekse rødder, som nu skal bestemmes. Først konstateres, at
.
Alle løsninger ligger altså på enhedscirklen, så kan skrives
, hvor
er løsningens argument. Vi anvender nu de Moivres formel (10):
Løsningerne er altså de komplekse tal
-
(11)
Disse ligger jævnt fordelt på enhedscirklen med et indbyrdes vinkelmellemrum på og udspænder en regulær
-kant med et hjørne i (1,0). De kaldes for de n-te enhedsrødder.
Roden med betegnes normalt
, de øvrige er potenser af denne. Enhedsrødderne kan derfor også opremses som
.
Figuren i det følgende afsnit illustrerer desuden enhedsrøddernes beliggenhed i tilfælde , hvor
.
Ligningen zⁿ = c
![image](https://www.wikidata.da-dk.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEuZGEtZGsubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWpMMk01TDBOdmJYQnNaWGhTYjI5MGN5NXpkbWN2TXpVd2NIZ3RRMjl0Y0d4bGVGSnZiM1J6TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Lad være et givet komplekst tal med modulus
og argument
. Vi søger alle løsninger til ligningen
wikipedia, dansk, wiki, bog, bøger, bibliotek, artikel, læs, download, gratis, gratis download, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, billede, musik, sang, film, bog, spil, spil, mobile, Phone, Android, iOS, Apple, mobiltelefon, Samsung, iPhone, Xiomi, Xiaomi, Redmi, Honor, Oppo, Nokia, sonya, mi, PC, web, computer