Legendre polynomier er en klasse af polynomier der bl a kan anvendes til at lose fysiske problemer hvor et inverst potential indgar Polynomierne blev introduceret af i 1782 De forste seks Legendre polynomier i intervallet 1 til 1 Definition ud fra en frembringende funktionPolynomierne kan defineres som koefficienterne i en Taylor ekspansion af den f x t displaystyle f x t omkring t 0 displaystyle t 0 f x t 11 2xt t2 n 0 Pn x tn displaystyle f x t frac 1 sqrt 1 2xt t 2 equiv sum n 0 infty P n x t n hvor Pn x displaystyle P n x er det n displaystyle n te Legendre polynomium Jf formlen for et Taylor polynomium er Legendre polynomierne altsa givet ved Pn x f n x 0 n displaystyle P n x frac f n x 0 n Fx er nulte polynomium blot lig med f displaystyle f nar t displaystyle t er nul P0 x 11 2x 0 02 1 displaystyle P 0 x frac 1 sqrt 1 2x cdot 0 0 2 1 Polynomium 1 er tilsvarende for den afledte til f displaystyle f P1 x x t 1 2xt t2 32 t 0 x 0 1 2x 0 02 32 x displaystyle P 1 x left frac x t 1 2xt t 2 tfrac 3 2 right t 0 frac x 0 1 2x cdot 0 0 2 tfrac 3 2 x Denne metode kan gentages for at fine de naeste polynomier men da differentieringen bliver mere og mere kompleks er det bedre at formulere en rekursionsformel Dette opnas ved at differentiere definitionen pa Legendre polynomierne f x t x t 11 2xt t211 2xt t2 n 0 nPn x tn 1 displaystyle f x t x t frac 1 sqrt 1 2xt t 2 frac 1 1 2xt t 2 sum n 0 infty nP n x t n 1 Den forste brok er blot definitionen pa summen som indsaettes i stedet f x t x t n 0 Pn x tn11 2xt t2 n 0 nPn x tn 1 displaystyle f x t x t sum n 0 infty P n x t n frac 1 1 2xt t 2 sum n 0 infty nP n x t n 1 Ligningen omskrives derefter sa tn displaystyle t n indgar i alle led x t n 0 Pn x tn 1 2xt t2 n 0 nPn x tn 1x n 0 Pn x tn n 0 Pn x tn 1 n 0 nPn x tn 1 2x n 0 nPn x tn n 0 nPn x tn 1x n 0 Pn x tn n 1 Pn 1 x tn n 1 n 1 Pn 1 x tn 2x n 0 nPn x tn n 1 n 1 Pn 1 x tn displaystyle begin aligned x t sum n 0 infty P n x t n amp 1 2xt t 2 sum n 0 infty nP n x t n 1 x sum n 0 infty P n x t n sum n 0 infty P n x t n 1 amp sum n 0 infty nP n x t n 1 2x sum n 0 infty nP n x t n sum n 0 infty nP n x t n 1 x sum n 0 infty P n x t n sum n 1 infty P n 1 x t n amp sum n 1 infty n 1 P n 1 x t n 2x sum n 0 infty nP n x t n sum n 1 infty n 1 P n 1 x t n end aligned For hver vaerdi af n displaystyle n skal ligheden ogsa gaelde for koefficienter alene xPn x Pn 1 x n 1 Pn 1 x 2xnPn x n 1 Pn 1 x displaystyle xP n x P n 1 x n 1 P n 1 x 2xnP n x n 1 P n 1 x Det naeste polynomium Pn 1 displaystyle P n 1 er altsa givet ved Pn 1 x 1 2n xPn x nPn 1 x n 1 displaystyle P n 1 x frac 1 2n xP n x nP n 1 x n 1 Da P0 displaystyle P 0 og P1 displaystyle P 1 er kendte kan de ovrige funktioner altsa let findes uden brug af differentialregning Fx er P2 displaystyle P 2 givet ved P2 x 1 2 xP1 x P0 x 1 1 32x2 12 displaystyle P 2 x frac 1 2 xP 1 x P 0 x 1 1 frac 3 2 x 2 frac 1 2